第1章 波导的模式(4)

31. 给出对称型三层平板波导中实现单模传输的条件。

在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE或TM基模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度要大于0并且小于或等于1阶导模的截止芯厚度，则对称型三层平板波导中实现单模传输的条件为：

??。 0?b?bcut1

32. 导模截止时，其有效折射率N等于下包层折射率n2，即N = n2，试由非称型三层平板波导的特征方程

?1b?m??arctanT2?arctanT3 ?m?0,1,2,??

式中

2222 ??2?k02?3?12?k0?1??2 ?2??2?k0?2 ?3????????T2??1?2 T3??1?3

??3??1??2??1s = 0对应于TE导模，s = 1对应于TM导模，导出下述物理量的表达式，并阐述与其相关参量的关系：

(1) 波导中能够传输的导模数量； (2) 第m阶导模截止时的波导芯厚度; (3) 第m阶导模的截止条件； (4) 相邻两个导模截止点的间距。

(1) 给定波导芯厚度b，当第m阶导模截止时，波导中能够传输的导模数量为

ssm?式中

22?n12?n2?b12?01?arctanT3(c) ?T3(c)22?n12??n2?n3? ??2?2212n?3??n1?n2?s12可以看出，芯厚度b越大，或芯与包层的折射率差越大，或工作波长?0越小，则波导中所能传输的导模数量就越多。当m不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为mmax = int(m)，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = int(m)+1。

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当m恰为整数时，mmax = m?1，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = m。

(2) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模截止时的波导芯厚度为

?m?bcut?1?(c)?m?arctanT3?? 2212??2?n1?n2???0可以看出，模阶数m越高，或工作波长?0越大，或芯与包层的折射率差越小，则第m

?m?阶导模截止芯厚度bcut就越大，因而第m阶导模就越容易截止。

(3) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模的截止条件为

?m?b?bcut?1?(c)?m?arctanT3?? 2212??2?n1?n2???0?m?上式说明，当芯厚度b等于或小于第m阶导模的截止芯厚度bcut时，第m阶导模截止。

对于0阶导模即基模，m = 0，知其截止芯厚度为

??bcut?0?02??n12?n2122?arctanT3(c)?0

这一点与对称型波导不同。对于对称型波导，其0阶导模的截止芯厚度为零，这意味着对于任何芯厚度的对称型波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。而对于非对称型波导，其0阶导模的截止芯厚度不为零。因此在波导器件的设计和制作中，波导芯厚度应大于0阶导模的截止芯厚度，否则波导将不能导波。

(4) 相邻两个导模截止点的间距为

?m?1??m?bcut?bcut?2??02n1212?n2?

可以看出，相邻两个导模截止点的间距与模阶数无关，即各阶导模的截止点等间距排列。还可看出，工作波长?0越大，或芯与包层的折射率差越小，则相邻两个导模截止点的间距就越大。

33. 给出非对称型三层平板波导中实现单模传输的条件。

在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE或TM基模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度要大于0阶导模的截

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止芯厚度并且小于或等于1阶导模的截止芯厚度，则非对称型三层平板波导中实现单模传输的条件为

(0)(1) bcut?b?bcut

34. 设三层对称平板波导的芯厚度为2a，芯层折射率为n1，芯两侧包层折射率为n2，其TE导模电场Ey0(x)满足的亥姆霍兹方程为

d2Ey0dx222?k0n1??2Ey0?0 (芯内),

??d2Ey0dx222??2?k0n2Ey0?0 (芯外)。

??试把上述方程与质量为 ? 的粒子在阱宽为2a、势垒高度为U0的一维方势阱中波函数

?(x)和能级E满足的薛定谔方程

d2?2??2E??0 (阱内), 2dx?d2?2??U0?E???0 (阱外) ?dx2?2相比较，利用势阱中只有单一能级的条件

2a????2?U0?12

找出在这种波导中只传输TE0基模的条件。

应用类比法：

2?E?k02n12??2 2?2??U0?E?2??2?k02n2 2?上两式相加有

2?U0222?kn?n ??0122??2?U0??

122?k0?n12?n2?

1218

??2?U0???12?1k0?n?n212122?

?2?U0?2a?12??k0?n?n212122?

???2?U0???12?2a??k0?n?n212122?

2a??2?U0??012?2a??02?n?n212122?

所以在三层对称平板波导中只传输TE0基模的条件为

2a?

2?n?n212122?。

35. 什么是一维限制的二维波导？什么是二维限制的三维波导？

上面讨论的三层平板波导，芯厚度是有限的，而芯宽度是无限的，光场仅在芯厚度方向上受到限制，在芯宽度方向上不受限制，光场沿z方向传输，属于一维限制的二维波导。但实际上常见的波导结构有很多都是芯厚度和芯宽度都是有限的，即光场在芯厚度和芯宽度两个方向上同时受到限制，这种结构属于二维限制的三维波导。

36. 在什么情况下才可以把波导看成是二维平板波导？在什么情况下采用三维条形波导结构模型？

实际上常见的波导结构的芯厚度和芯宽度都是有限的，仅当波导的芯宽度的尺寸远远大于芯厚度的尺寸时，才可以把波导看成是二维平板波导。当波导芯宽度的尺寸与芯厚度的尺寸可比拟时，即可采用三维条形波导结构模型。

37. 常见的条形波导有哪些结构？并加以说明。

几种常见的条形波导横截面的结构如图所示，说明如下：

图(a)所示的结构称为凸起条形波导，它是在衬底或下包层上生长折射率较大的芯层后，再对芯层进行掩膜光刻而形成的。

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图(b)所示的结构称为嵌入条形波导，它是在衬底或下包层上光刻开槽后再填充折射率较大的介质而形成芯区。

图(c)所示的结构称为掩埋条形波导，它的芯区四周被折射率较小的同一种介质所包围。

图(d)所示的结构称为脊形波导，它是在衬底或下包层上生长折射率较大的芯层后，再对芯层进行掩膜光刻而形成的。

图(e)所示的结构称为加载条形波导，它是在衬底或下包层上依次生长折射率较大的芯层和折射率较小的加载层后，再对加载层进行掩膜光刻而形成的。

其中的凸起条形波导、嵌入条形波导和掩埋条形波导为矩形波导，而脊形波导和加载条形波导可以用有效折射率法或等效折射率法将其转化成等效平板波导或等效矩形波导后进行分析。

n3n101n3n1n2(b) 嵌入条形n4n3n124n2n1n2(c) 掩埋条形yxz6810n286(a) 凸起条形4n321n0n20n2

(d) 脊形(37题图) 几种条形波导的横截面简图

(e) 加载条形(f) 坐标系

38. 试阐述矩形波导的结构模型。

矩形波导的横截面如图所示，a、b分别为波导芯的宽度和厚度，选取坐标系的原点放在波导芯的中心，并把其截面分成九个区，各区的折射率各自为常数，因此矩形波导的折射率属于阶梯型分布。除了四个带阴影的角区外，在其他五个区中，芯区的介电常数?1比其四周的包层的介电常数?2，?3，?4，?5大。

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