图中可以看出，有效折射率N随波导芯厚度b的增大而增大，随模阶数m的增大而减小，其中0阶导模的传播常数为最大。当波导芯厚度给定后，传播常数取分立值，并组成分立谱。在此算例中芯层与上下包层的折射率差较小，模阶数相同的TE和TM导模的传播常数趋于相同而接近简并，相应的TE和TM导模的传输曲线近于重合。所谓简并，是指同一个有效折射率的值对应两个或两个以上的模式。如果芯层与上下包层的折射率差增加到足够大，这种简并将会被消除，相应的TE和TM导模的传输曲线将会分离。当导模的有效折射率N等于包层的折射率n2时，?2变为零，此时导模不再存在，辐射模产生，称为导模截止，图中传输曲线与横轴的交点称为导模的截止点，这些截止点等间距分布。图中可以看出，0阶导模的传输曲线通过坐标原点，即0阶导模的截至芯厚度等于0，这意味着对于任何芯厚度的对称型平板波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。
26. 对称型三层平板波导中导模的场分布如图所示，试阐述其特点。
1.51.01.51.00.50.0-0.5-1.0m=0-1.5-101.51.0-50510-1.5-101.51.00.50.0-0.5-1.0m=3510-1.5-10-50 x-b/2 /?m Ey0(x), Hy0(x) 0.50.0-0.5-1.0m=1-50510Ey0(x), Hy0(x)0.50.0-0.5-1.0-1.5-10-5 m=20 510 x-b/2 /?m
(26题图) 对称型三层平板波导中TE和TM导模的场分布Ey0(x) (实线)和Hy0(x) (虚线)
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随波导横截面坐标x的变化曲线，竖直的虚线为波导芯界面
对称型三层平板波导中，场分布以x?
b
为对称轴，由于介电常数是对称分布的，2
因此场有对称和反对称两种分布。图中可见，对于偶阶模(m = 0, 2, 4,?)场是对称分布的，对于奇阶模(m = 1, 3, 5,?)场是反对称分布的。电磁场分量的表达式可表示为
?j??t??z??，其振幅?(x)即为TE和TM导模的场分布函数，与空间位??x,z,t????x?exp置有关，其相位因子exp?j??t??z??具有平面波的形式，波导中的这种电磁波称为本地平面波。对于导模，由场分布函数可知，x方向的横场在波导芯中为余弦或正弦分布，而在芯两侧的包层中具有指数衰减的形式，在无限远处变为零，包层中这种指数衰减的场称为倏逝场或消失场。包层中的倏逝场衰减的快慢随?2而定，包层的介电常数或折射率
?2就越小，越大，场衰减得越慢。当x等于包层中的穿透深度即x??1和x?b?1时，
?2?21包层中的场强衰减到边界场强的。在此算例中由于芯层和上下包层的折射率差较小，
eTE和TM导模的场分布曲线基本重合。如果芯层与上下包层的折射率差增加到足够大，TE和TM导模的场分布曲线将会相互分离。
27. 非对称型三层平板波导中导模的有效折射率随波导芯厚度的变化曲线如图所示，试阐述其变化规律。
1.4951.4901.485Nm=0123451.4801.4751.4701.465036b /?m91215
(27题图) 非对称型三层平板波导中TE(实线)和TM(虚线)导模的有效折射率N随波导芯厚度b的变化曲线
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图中可以看出，有效折射率N随波导芯厚度b的增大而增大，随模阶数m的增大而减小，其中0阶导模的传播常数为最大。当波导芯厚度给定后，传播常数取分立值，并组成分立谱。当导模的有效折射率N等于下包层的折射率n2时，?2变为零，此时导模不再存在，辐射模产生，称为导模截止，图中传输曲线与横轴的交点称为导模的截止点，这些截止点等间距分布。图中还可看出，与对称型平板波导的情况不同的是，非对称型平板波导0阶导模的传输曲线不通过坐标原点，即0阶导模的截至芯厚度大于0，这意味着对于非对称型平板波导，若要在其中进行模式传输，其波导芯厚度必须大于0阶导模的截至芯厚度，否则波导中不能进行光的传输。在此算例中芯层与上包层的折射率差较大，模阶数相同的TE和TM导模的传播常数不再相同，简并被消除，因而相应的TE和TM导模的传输曲线已分开。
28. 非对称型三层平板波导中导模的场分布如图所示，试阐述其特点。
1.51.01.51.00.50.0-0.5-1.0m=0-1.5-51.51.0051015-1.5-51.51.00.50.0 Ey0(x), Hy0(x)0.50.0-0.5-1.0 m=1051015Ey0(x), Hy0(x)0.50.0-0.5-1.0m=2-1.5-5051015 -0.5-1.0m=3-1.5-505 mx /?1015x /?m
(28题图) 非对称型三层平板波导中TE和TM导模的场分布Ey0(x) (实线)和Hy0(x) (虚线)随波导横截面坐标x的变化曲线，竖直的虚线为波导芯界面
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非对称型三层平板波导中，由于介电常数是非对称分布的，因此场不再有对称和反对称之分，场呈现非对称分布。电磁场分量的表达式可表示为
??x,z,t????x?ex?pj??t??z??，其振幅?(x)即为TE和TM导模的场分布函数，与空间位
置有关，其相位因子exp?j??t??z??具有平面波的形式，波导中的这种电磁波称为本地平面波。对于导模，由场分布函数可知，x方向的横场在波导芯中为余弦或正弦分布，而在芯两侧的包层中具有指数衰减的形式，在无限远处变为零，包层中这种指数衰减的场称为倏逝场或消失场。下包层和上包层中的倏逝场衰减的快慢随?2、?3而定，由于下包层的介电常数或折射率比上包层的介电常数或折射率大，?2比?3小，因而场在下包层中衰减地比在上包层中慢。当x等于包层中的穿透深度即x??1和x?b?1时，下
?2?21包层和上包层中的场强衰减到边界场强的。在此算例中由于芯层和上包层的折射率差
e较大，TE和TM导模的场分布曲线已经分离。
29. 什么是导模截止？
导模的有效折射率N的变化范围为n2?N?n1，在此范围内导模能够在波导中传输。当导模的有效折射率N等于下包层折射率n2时，即N = n2，导模不复存在，辐射模产生，称为导模截止。
30. 导模截止时，其有效折射率N等于下包层折射率n2，即N = n2，试由对称型三层平板波导的特征方程
?1b?m??2arctanT2 ?m?0,1,2,??
式中
s????222?12?k0?1??2 ?2??2?k0?2 T2??1?2
??2??1s = 0对应于TE导模，s = 1对应于TM导模，导出下述物理量的表达式，并阐述其与相关参量的关系：
(1) 波导中能够传输的导模数量； (2) 第m阶导模截止时的波导芯厚度;
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(3) 第m阶导模的截止条件； (4) 相邻两个导模截止点的间距。
(1) 给定波导芯厚度b，当第m阶导模截止时，波导中能够传输的导模数量为
m?22?n12?n2?b12?0
可以看出，芯厚度b越大，或芯与包层的折射率差越大，或工作波长?0越小，则波导中所能传输的导模数量就越多。当m不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为mmax = int(m)，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = int(m)+1。当m恰为整数时，mmax = m?1，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = m。
(2) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模截止时的波导芯厚度为
?m?bcut?2?m?02n1212?n2?
可以看出，模阶数m越高，或工作波长?0越大，或芯与包层的折射率差越小，则第m
?m?阶导模截止芯厚度bcut就越大，因而第m阶导模就越容易截止。
(3) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模的截止条件为
?m?b?bcut?2?m?02n1212?n2?
?m?上式说明，当芯厚度b等于或小于第m阶导模的截止芯厚度bcut时，第m阶导模截止。?0?对于0阶导模，称为基模，m = 0，由上式知其截止芯厚度为bcut?0，这意味着对于任
何芯厚度的对称型波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。
(4) 相邻两个导模截止点的间距为
?m?1??m?bcut?bcut?2??02n1212?n2?
可以看出，相邻两个导模截止点的间距与模阶数无关，即各阶导模的截止点等间距排列。还可看出，工作波长?0越大，或芯与包层的折射率差越小，则相邻两个导模截止点的间距就越大。
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