新人教版高二数学上学期期末考试试卷(理)(7)

即二面角A—CC1—B的余弦值为

155.

20解:设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人． --------1分

(Ⅰ)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝

7， 10

C72 33(7－2x)(6－2x)3?2x

∴P(ξ＝0)＝，即2 ＝，∴＝，解得x＝2，

10C7?x10(7－x)(6－x)10故文娱队共有5人． -------6分 (Ⅱ)?的概率分布列为

ξ 0 3 101 3 52 1 10P 1C1C2312C32

P(ξ＝1)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，

C55C510

∴Eξ＝0×

3314

＋1×＋2×＝． -------11分 105105

答----- ---------12分

21.解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0）， ①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1， 设M（1，y0），N（1，-y0）（y0＞0），要使以MN为直径的圆过双曲线的中心，只需OM·ON=0，即y0=1，此时M（1，1），N（1，-1）. 又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，只需

因为0＜?＜1,所以?=

11??-1=1即?2+?-1=0 ，?=?1??52，

5?1

. --------42

分

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).

?x2y2??1由?,得［?-(1-?)k2］x2+2(1-?)k2x-(1-?)(k2+?)=0,--------6?1????y?k(x?1)?分

???(1??)k2?0???0????2k2(1??)由题意知：?x1?x2? 2??(1??)k???(1??)(k2??)?x1x2???(1??)k2??

k2?2于是y1y2?k(x1?1)(x2?1)?,

??(1??)k22--------8分

要使以MN为直径的圆过双曲线的中心，只需OM·ON=0，又M、N在双曲线右支上，

?(1??)?2?x1x2?y1y2?0k???2???1 只需? 即??x1?x2?0??xx?0?k2??12??1??????(1??)??2?????11????2???1?0?

5?1

＜?＜232

. --------10分

综上所述?的取值范围是 [22.解 (I)∵f′(x)=2(1+x)-

5?12,) -------12分 232ax2?2x?1?a=2·x?11?x,

依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）

有极小值，∴f′（-2）=0. 代入方程解得a=1,

故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2 ----------2分 (II)由于f′(x)=2(1+x)-2=2x(x?2)x?11?x,

令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2.

1?（由于x∈?， ??1,e?1?，故x2=-2舍去）

?e?1?易证函数在??1,0??上单调递减，

?e1e2?在［0，e-1］上单调递增， 且f(1?1)=

e+2,f(e-1)=e2-2＞

1e2+2,

21?故当x∈?时，f(x)=e-2, ?1,e?1max???e?因此若使原不等式恒成立只需m＞e2-2即可 ----------------6分 （III）若存在实数b使得条件成立， 方程f(x)=x2+x+b

即为x-b+1-ln(1+x)2=0, 令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,

（高考资源网供稿）

则g′(x)=1-

2=x?1, x?1x?1令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1, 令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,

故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，

?g(0)?02］上各有一个实根，于是有?（高考*资源网-供稿） ?g(1)?0?2-2ln2＜b≤3-2ln3,

?g(2)?0?故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件 ------12分

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