《概率与数理统计》复习材料 - 图文(8)

设XN(3,4)，求P(2?X?3),P(?4?X?10),P(X?2),P(X?3). 【答案】X?32?3X?33?3～N(0,1)?(1)P(2＜X＜3)?P(＜＜) 222211??0(0)??0(?)??0(0)?[1??0(?)]?0.5?1?0.6915?0.1915 2212 ?4?3X?310?377＜＜)??0()??0(?)???0.9995348 (2)P(?4?X?10)?P(作业 22222?2?32?3?X?) (3)P(X＞2)?1?P(X?2)?1?P(?2?X?2)?1?P(221515?1?[?0(?)??0(?)]??0()??0()?1?0.6915?0.99379?0.69771 2222X?33?3?)?1??0(0)?1?0.5?0.5 (4)P(X＞3)?1?P(X?3)?1?P(22X～N(3,4)?设某校一年级学生期末数学考试的成绩近似服从正态分布,且全体学生的数学平均成绩为72分，又有2.3%的学生成绩在96分以上，试估计数学成绩在60分至84分之间的学生比例. 22【答案】设数学成绩为X，则X～N(?,?). ?72?EX??，?X～N(72,?) 13 作业 ?2.3%?P(X＞96)?1?P(X?96)?1?P(X?72??96?72?)?1??0(24?) ??0(60?7284?722424?X?) )?97.7%，查表得?2，???12?P(60?X?84)?P(1212??60?7284?72?P(?X?)??0(1)??0(?1)?2?0(1)?1?2·0.8413?1?0.6826 1212已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地抽取3次，每次任取1个，求所取的3个14 PPT 产品中恰有2个次品的概率. 【答案】这是一个3重伯努利试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个产品中的次品数，则X ~ B(3, 0.05)，故所求概率为： 10部机器各自独立工作, 因修理调整的原因, 每部机器停车的概率为0.2. 求同时停车数目X 的分布. 15 PPT 【答案】X~B(10,0.2), 计算得X的概率分布为 16 PPT 一批产品的废品率 p = 0.03, 进行20次有放回重复抽样,求出现废品的频率为0.1的概率. 【答案】令X 表示20次重复抽取中废品出现的次数, 则 X~B(20, 0.03), 故所求概率为

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设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功17 一次的概率不小于0.9 PPT 【答案】 某批产品有80%的一等品, 对它们进行有放回地重复抽样检验, 共取出4个样品, 求其中一等品数?的最可能值k0, 并用伯努利公式验证. 18 PPT 【答案】?~B(4, 0.8), 因np+p=4是整数, 所以k0=4和k0=3时P{?=k}为最大, 即3和4为最可能值.用伯努利公式计算可得 故经验证3和4确实为最可能值。 19 望，方差和最可能值. 某工厂每天用水量保持正常的概率为0.8, 求最近一个星期内用水量正常的天数X的数学期PPT 【答案】X~B(7,0.8), 因此 20 PPT 【答案】 某班有学生20名, 其中有5名女同学, 今从班上任选4名学生去参观展览, 被选到的女同学数?是一个随机变量, 求?的分布. 【答案】 21 PPT 一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后, (1)恰有8粒发芽的概率; (2)不22 少于8粒发芽的概率. 这是一个N很大, n相对很小的超几何分布问题,可用二项分布近似计算,取n =10, p =90%,

PPT 【答案】设10粒种子中发芽的数目为随机变量X. 因10粒种子是由一大批种子中抽取的, - 37 -

q =10%, k=8，则 一大批产品的废品率p=0.015,求任取100个产品恰有一个废品的概率。 23 PPT 【答案】100个产品中废品数X服从超几何分布，但由于产品总量远远大于抽取量，故 ∵当n较大，且p很小，∴可用泊松分布近似代替二项分布，其中?? np=100*0.015=1.5 故 24 PPT 【答案】 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，甲商品每月的销售数可以用参数 λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进甲商品多少件？ 【答案】25 PPT 26 PPT 【答案】 27 PPT 【答案】

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28 PPT 【答案】 29 PPT 【答案】 【答案】 30 PPT 【答案】 31 PPT 32 PPT 【答案】

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，，1，2 33 PPT 【答案】

七、大数定律与中心极限定理

1、大数定律

在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验, 计划试验n次, 就试验方案而言, 这 样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量?1,?2,?,?n则称?n?

?1??2????n

m1n???i为这n个随机变量的算术平均值，它仍然是随机变量.虽然n个随机变量的算 ni?1 术平均值仍然是随机变量, 人们相信当试验次数n无限增大的时候, 此随机变量将趋向 于常数, 即数学期望, 这就是大数定律.

2、中心极限定理

(1)概念：“和的分布收敛于正态分布”这一类定理称为中心极限定理 (2)独立同分布下的中心极限定理、拉普拉斯定理、李雅普诺夫定理

设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E(Xk)?a，D(Xk)?b (k?1,2,?)，则随机变量之和X?① 独立、同分布 下的 中心极限定理 nb?Xk?1nk,且EX?na,DX?nb,DX?nb,X的标准化变量Y?X?na的分布函数Fn(x)对于任意x满足limFn(x)?Φ0(x). n??定理表明,独立同分布的随机变量之和X?近似地?Xk?1nk,当n充分大时,随机变量近似地之和与其标准化变量分别有X～N(EX,DX)?N(na,nb);X?EX～N(0,1) DX

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