23 PPT 【答案】
六、几种重要的分布
1、离散型
内容 (1)定义:若随机变量X有概率函数:kkn?kP(X?k)?Cnpq(k?0,1,?)(0<p<1) (q?1?p), 则称X 服从参数为n和p的二项分布,记作X~B(n,p) ① 二项分布 ? np?p 和 np?p-1 , ?(2)二项分布的最可能值k0?? 当np?p是整数时;? [np?p] , 其它? [np?p]指不超过np?p的最大整数 (3)伯努利试验和二项分布的关系:二项分布描述的是n重伯努利试验中 事件A出现的次数X的分布律. (4)EX?np,DX?npq (1)定义:设随机变量X所有可能取的值为0,1,2?,且概率分布为: ② 普哇松分布 也叫 P?(m)?P(X?m)??mm!e?? (m?0,1,2?) (?为常数且>0), 则称X服从参数为?的普哇松分布,记作X~P(?) 或X~P?(k) (2)当n较大,p很小时,可用泊松分布近似代替二项分布,其中?? np. 泊松分布 (3)常见于所谓稠密性的问题中, 如一段时间内, 电话用户对电话台的呼唤 次数, 候车的旅客数, 原子放射粒子数, 织机上断头的次数等. (4)EX??,DX?? (1)定义:N个元素分为两类, 有N1个元素属于第一类, N2个元素属于第二 类(N1+N2=N).从中按不重复抽样取n个, 令X表示这n个中第一(或二) ③ 超几何分布 类元素的个数, 则X的分布称为超几何分布,记作X~H(n,M,N),其概率 函数为: mn?mCNCN21P(X?m)?CnN(m?0,1,?n) (0<p<1,q?1?p) (N1?N2?N) (2)当N→∞时,超几何分布以二项分布为极限;当N很大而n相对于N比较
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小时,可用二项分布公式近似计算,其中p?(3)EX?n?N1 NN1N1N2N?nDX???, NNNN?1?1,a?x?b?(1)定义:若随机变量X的概率密度为?(x)??b?a, ??0,其它 则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记作X~U(a,b) dd1P(c<X?d)??(x)dx?(2)对于区间(c,d),有?c?cb?adx ④ 均匀分布 ? d?c (a?c<d?b) b?a(3)X的分布函数为: ?0,x<a?x?a x?F(x)?P(X?x)??(x)dx ?,a?x<b ? ? -??b?a??1,x?b(b-a)a?b(4)EX?,DX? 122⑤ 两点分布 ⑥ 0-1分布
2只有两个可能取值的随机变量所服从的分布,其概率函数为: P(X?k)?pkq1?k (k?0,1) (0<p<1) (q?1?p) 只可能取0与1 两个值的随机变量X所服从的分布,其概率函数为: P(X?k)?pkq1?k (k?0,1)1??0?? 或 X~? ?1?pp(0<p<1) (q?1?p)??2、连续型 ① 指数分布 内容 ??e??x,x>0(?>0), (1)定义:若随机变量X的概率密度为?(x)??0,其它? 则称X服从参数为?的指数分布,记作X:E(?) (2)易知:
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①??????(x)dx???e0????x ③P(a<X<b)?(3)常用于使用寿命类问题,如随机服务系统中的服务时间, 某些消耗性产品(电子元件等)的寿命等等 (4)EX??ba?e??xdx (0?a<b) ?1?e??x, x?0dx?1 ②F(x)?? 0 , x?0?1?,DX?1?2 (1)定义:若随机变量X的概率密度为?(x)?12?? 2 e(x??)2? 2?2 2② 正态分布 (?,?为常数,?>0),则称X服从正态分布,记作X~N(?,?) (2)图像:?决定了图形的中心位置,?决定了图形中峰的陡峭程度,越小越集中越陡峭. (3)它的线性函数kX?b (k?0)仍然服从正态分布 2(4)EX??,DX?? (1)定义:在随机变量X服从正态分布的基础上,当??0,??1时, 有?0(x)?(2)?0(x)的图像性质:①?0(x)的图形关于y轴对称 ②lim?0(x)?0 ③?0(x)在x??1处有两个拐点 (3)标准正态分布概率密度函数和分布函数的图像 x??x? 1 e2,此时2π 2X服从标准正态分布X~N(0,1) 注:x轴为密度函数?0(x)的水平渐近线 ③ (4)一般正态分布与标准正态分布的关系: 标准正态分布 ①Φ(x)?Φ0 (X?u)(分布函数) ②?(x)?1 ?0 (X?u)(概率密度函数) ③任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 2X?? ④已知X~N(?,?),令??,则? ~ N(0,1) ?(4)计算公式: ??? x>0?Φ0(x) ,?P(X?x)? x?0 ?0.5 , ①若X~N(0,1),则 ?1?Φ(?x) ,x<00? P(X?x)?2Φ0(x)?1(当x>0时); P(a<X?b)?Φ0(b)?Φ0(a);
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当x≥5时,Φ0(x)?1;当x≤-5时,Φ0(x)?0 2 ②若X~N(?,?),则??X???~N(0,1) (5)EX???0,DX???1 2 (1)定义:若n个相互独立的随机变量?1,?2,??n均服从标准正态分布,则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布④ 卡方分布 规律称为?分布,记作?~?(n) (2)若X1??2(n1),X2??2(n2),X1,X2相互独立,则X1?X2~?(n1?n2) (3)n??时,?(n)~N(n,2n) 2近似地222(4)E?
?n,D??2n B(n,p),EX?12,DX?8,n? 3、例题
1 已知随机变量X,p?. 作业 【答案】36,1/3 设X服从参数为?的泊松分布,已知P(X?2)?P(X?3),P(X?4)?a?P(X?0)则2 a?. 作业 【答案】由泊松分布的定义知,P(X<4)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3) 代入公式可以得出a?13 3 设随机变量XN(2,4),则D(2X?5)?. 作业 【答案】D(2X?5)?D(2X)?22DX?22?2?22·4?16 设随机变量XN(?,?2), (1)P(a?X?b)?4 作业 (2) Y?aX?b2. ,Z?X???. x?4x?4?1(3) 若X概率密度为?(x)?,?2??e6,(???x???),则??6??b????a????Φ【答案】(1)Φ0??? (2)N(a??b,a2?2) (3)2,3 0???????.
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5 作业 设随机变量XN(?1,?2),且P(?3?X??1)?0.4,则P(X?1)?. 【答案】画图可知,P(?1?X?1)?P(?3?X??1)?0.4,P(X?1)?P(??3)?(1?0.4?0.4)/2?0.1 若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,至少命中3炮的概率;最可能命中几炮? 【答案】(1)设命中X炮,则X~B(10,0.7),P(X即至少命中3炮的概率为0.99841 k?k)?C100.7k0.310?k,k?0,1,?10 6 作业 P(X?3)?1?P(X<3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?0.99841 (2)?np?p?7.7,?最可能命中7炮 k3?kC13C39(k?0,1,2,3) 作业 【答案】设红桃张数为X,则P(X?k)?3C527 从一副不含大小王的扑克牌(52张)中发出3张,求其中红桃张数的概率分布. 电话交换台每分钟的平均呼唤次数为4,假定呼唤次数服从泊松分布,求:(1)每分钟恰有6次呼唤的概率;(2)每分钟呼唤次数不超过10次的概率. 4k?4e 【答案】设每分钟的呼唤次数为X,则X~P(?). 4?EX???P(X?k)?k!作业 (k?0,1,2,?). (1)P(X?6)?0.104196 (查表) (2)P(X?10)?1?P(X>10) 8 ?1?(0.001925?0.000642?0.000197)?0.9972(查表) 已知某电子管的寿命X(小时)服从指数分布,如果它的平均寿命EX?1000小时, 求X的概率密度,并计算这只电子管能使用1200小时以上的概率. 9 作业 ??e??x,x>0?0.001e?0.001x,x>0??【答案】1000?EX????0.001??(x)?? ?0,其它0,其它??1?1?e?0.001x,x>0?F(x)???(x)dx???P(X>1200)?1?P(X?1200) ???0,其它x1200?1?F(1200)?1?(1?e?0.001·)?e?1.2 2设?服从[1,6]上的均匀分布,求使方程x??x?1?0有实根的概率. ?11?x?6?,2210 【答案】ξ~U(1,6)?f(x)??5. 要使x?ξx?1?0,则??ξ?4?0 ?作业 ?0,其它?ξ?4?P(??4)?1?P(?<4)?1?P(?2<?<2)?1??设X11 2222114dx? 55N(0,1),求P(?1?X?3),P(0?X?5),P(X?3). 【答案】u?0,??1?1?(1)P(?1?X?3)??0(3)??0(?1)??0(3)?[1??0(1)] (3)P(X<3)?2?0(3)?1?2·0.99865?1?0.9973 作业 ?0.99865?1?0.8413?0.83995 (2)P(?0?X?5)??0(5)??0(0)?1?0.5?0.5
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