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《概率与数理统计》复习材料 - 图文(2)

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7、全概率定理与贝叶斯定理

(1)全概率定理(又称全概率公式):复杂事件概率没法直接计算,将其分解为若干 个较简单事件,再结合加法法则与乘法法则,计算出复杂事件的概率。把这种思维 一般化,得到公式:P(B)?n?P(A) P(B|A)

iii?a (2)贝叶斯定理(又称贝叶斯概率):若A1,A2,?,An构成一个完备事件组,并且它 们都具有正概率,则对任何一个概率不为0的事件B,有 P(Am|B)? 8、独立试验概型

(1)独立性:若两事件A、B满足P(AB)= P(A)·P(B),则称A、B相互独立,简称 A、B独立

(2)若两事件A、B独立,则

注:非空事件独立必不互斥,互斥必不独立 9、贝努里定理

(1)独立试验序列概型:在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型 (2)贝努里试验:若某种试验只有两个结果,则称这个试验为贝努里试验 (3)n 重贝努里试验:n次独立重复的贝努里试验

(4)贝努里定理:设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),则n重贝努里试 验中,事件A恰好发生k次的概率Pn(k)?CnpkkP(Am)P(B|Am)?P(A) P(B|A)iii?an

也相互独立

qn?k (k?0,1,?,n) (q?1?p)

10、例题

1 作业 一个袋中有5个红球,3个黄球,2个白球,计算任取3个球恰为一红一黄一白的概率。 111C5C3C21P?? 【答案】所求事件概率3C104将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上,任取三张排成三位数,求这个数为奇数的概率。 2 作业 【答案】个位数为奇数则为奇数,共有13A5?60种排法. 当这个数为奇数时,依次确定1个、十、百位的数字,则个位数有C3种情况,十位数有C4种情况,百位数有C3种情况,111C3C4C33所求事件概率P=?. 3A551两封信随机投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率及第一个邮筒内恰有一封信的概率 3 作业 【答案】设A为前两个邮筒内没有信,B为第一个邮筒内恰有一封信,则 11C2C33C2C21,P(B)??. P(A)??42842411

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4 已知P(A)?a,P(B)?b且AB??, 则A与B恰有一个发生的概率为: 作业 【答案】a?b 已知AB??,P(A)?P(B)?P(C)?5 作业 11,P(AC)?P(BC)?,求A,B,C均不发生的概率. 416【答案】P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?[P(A)?P(B)?P(C)? 6 作业 113P(ABC)?P(AB)?P(BC)?P(AC)]?1?(·3?·2)?. 4168设A,B 为随机事件,P(A)?0.7,P(B)?0.6,P(AB)?0.3, 求P(AB)和P(B?A). 【答案】?0.3?P(AB)?P(A)?P(AB)?0.7?P(AB),?P(AB)?0.4 ?(1)P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6 (2)P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.4?0.2 11已知P(A)?,P(B)?,在下列三种情况下求P(A?B).(1)AB??, (2)A?B, 321(3)P(AB)?. 7 81151作业 【答案】(1)P(A?B)?P(A)?P(B)??? (2)P(A?B)?P(B)? 326211117P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????. (3)32824已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.8, 则P(A?B)?8 【答案】?0.8?P(B|A)?. P(AB)P(AB)?,?P(AB)?0.4,?P(A?B)?P(A)?P(B) 作业 P(A)0.5?P(AB)?0.5?0.6?0.4?0.7 已知P(A)?0.4,P(B)?0.3 (1)当A,B互不相容时,P(A?B)?9 作业 (2)当A,B相互独立时,P(A?B)?(3)当B?A时,P(A?B)?, P(AB)?, P(AB)?, P(AB)?. ; ; 【答案】(1)画图可知0.7,0 (2)A与B相互独立,则A与B也相互独立, P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?(1?0.4)(1?0.3)?0.58, P(AB)?P(A)P(B)?0.12 (3)画图可知0.4,0.3 某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项同时投资的概率为0.19,(1)已知他已投入基金,则他再购买股票的概率是多少? (2)已知他已购买股票,则他再投入基金的概率是多少? 10 作业 【答案】设A为投入基金,B为购买股票,则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19 19P(AB)0.1919??,即已知他已投入基金,则他再购买股票的概率是. 58P(A)0.585819P(AB)0.1919??,即已知他已购买股票,则他再投入基金的概率是. (2)P(A|B)?28P(B)0.2828(1)P(B|A)?

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人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不11 变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率. 作业 【答案】设A1为利率下调,A2为利率不变,B为股票价格上涨,则P(A1)?0.6,P(A2)?0.4, P(B|A1)?0.8,P(B|A2)?0.4,A1,A2构成一个完备事件组,且都具有正概率. 0.8?0.4·0.4?0.64 由全概率定理可知,P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?0.6·即该支股票将上涨的概率为0.64 设某一工厂有甲、乙、丙三个车间,它们生产同一种螺丝钉,每个车间的产量分别占该厂生产螺丝钉总产量的25%、35%、40%,每个车间成品中次品的螺丝钉占该车间生产量的百分比分别为5%、4%、2%,如果从全厂总产品中抽取一件产品,取得了次品,求它是乙车间生产的概率. 12 作业 【答案】设A1、A2、A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品是次品,则 P(A1)?0.25,P(A2)?0.35,P(A3)?0.4,P(B|A1)?0.05,P(B|A2)?0.04,P(B|A3)?0.02A1,A2,A3构成一个完备事件组,且都具有正概率. 由贝叶斯定理可知, P(A2|B)?P(A2)P(B|A2) P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)?0.35·0.0414??4% 即它是乙车间生产的概率约为4% 0.25·0.05?0.35·0.04?0.4·0.02345箱中有可供使用的三种型号的手电筒,第一种型号的手电筒使用超过100小时的概率为0.7, 第二种型号的手电筒和第三种型号的手电筒的相应概率分别为0.4和0.3,假定箱中有20%第一种型号的手电筒、30%第二种型号的手电筒,50%第三种型号的手电筒,(1)随机取出一个手电筒使用超过100小时的概率为多少? (2)给定的手电筒使用超过100小时,则它是第j(j?1,2,3)种型号的手电筒的概率为多少? 【答案】设A1、A2、A3分别表示取出的手电筒为第一种、第二种、第三种型号,B表示取出的手电筒使用超过100小时,则P(A1)?0.2,P(A2)?0.3,P(A3)?0.5,P(B|A1)?0.7, 13 作业 P(B|A2)?0.4,P(B|A3)?0.3,A1,A2,A3构成一个完备事件组,且都具有正概率. (1)由全概率定理可知,P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?0.2*0.7?0.3*0.4?0.5*0.3?0.41 即随机取出一个手电筒使用超过100小时的概率为0.41 (2)由贝叶斯定理可知,P(Aj|B)?P(Aj)P(B|Aj)?P(A)P(B|A)iii?13,?P(A1|B)?0.2*0.714, ?0.4141?P(A2|B)?即给定的手电筒使用超过100小时,则它是第j(j?1,2,3)种型号的手电筒的概率分别为0.3*0.4120.5*0.315??,?P(A3|B)?. 0.41410.4141141215、、. 414141

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某宾馆大楼有4部电梯,通过调查知道在某时刻T各电梯正在运行的概率均为0.75,求:(1)在此刻至少有1台电梯在运行的概率;(2)在此刻恰好有1半电梯在运行的概率;(3)在此刻所有电梯都在运行的概率. 【答案】这是一个4重贝努里试验,设P4(k)表示这4部电梯在此刻恰有k部在运行的概率,则P4(k)?C40.7514 kk1)?1?P4(k?0) (1?.075)4?k,(1)P4(k?1)?1?P4(k<255?0.99609375?0.996 2560?1?P4(0)?1?C40.750(1?.075)4?0?作业 即在此刻至少有1台电梯在运行的概率约为0.996 (2)P4(k2?2)?C40.752(1?.075)4?2?27?0.2109375?0.211 12881?0.31640625?0.316 256即在此刻恰好有1半电梯在运行的概率约为0.211 444?4?(3)P4(k?4)?C40.75(1?.075)即在此刻所有电梯都在运行的概率约为0.316 假若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,混合100人的血清,求此血清中含有肝炎病毒的概率. 15 【答案】这是一个100重贝努里试验,设P100(k)表示100人中恰有k人的血清含有肝炎kk作业 病毒的概率,则P100(k)?C1000.004(1?0.004)100?k,只有当k=0时此血清才不含有肝炎00病毒,所以此血清中含有肝炎病毒的概率为:1?P100(0)?1?C1000.004 ?0.330217将一枚硬币抛掷三次,(1)设事件(1?0.004)100?0 A1为“恰有一次出现正面”,求P(AA21);(2)设事件为“至少有一次出现正面”,求P(A2). 11,每次出现反面概率都是,“恰有一次出现正2216 1111111113 · ? · · ? · · ? PPT 面”即可能“正反反、反正反、反反正,”所以P(A1)? ·2222222228【答案】(1)因为每次出现正面概率都是(2)与“至少有一次出现正面”相反的是“出现的都是反面”,所以P(A2)?1?P(A2)? 11171? · · ?. 2228 17 PPT

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【答案】(1)有放回抽样: (2)不放回抽样: 18 PPT 【答案】 19 PPT 【答案】

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