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《概率与数理统计》复习材料 - 图文(4)

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7 ?sinx , 0?x??设有函数F(x)??,试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数. 0 ,其他?PPT 【答案】函数F(x)在区间 [函数. 8 PPT 判断函数F(x)??2,?] 递减,不满足“不减函数”的性质,故F(x)不能是分布1arctanx?是不是随机变量的分布函数? 2?【答案】是,符合分布函数的性质。 在区间 [4,10] 上任意抛一个质点,用X表示这个质点与原点的距离,则X是一个随机变量。若这个质点落在 [4,10] 上任一 子区间内的概率与这个区间长度成正比,求X的分布函数。 【答案】X只可取 [4,10] 上的一切实数,故P(4?X?10)?1 9 PPT 故??1/6 设随机变量X具有的概率密度如下, 【答案】(1) 10 PPT (2) (3)

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设随机变量X的分布函数为 11 PPT 【答案】 设随机变量X的概率密度为12 PPT 【答案】

四、二元随机变量

1、离散型与连续型

二元离散型随机变量 ①F(x,y)是关于变量x和y的不减函数 ②0≤F(x,y)≤1,且对任意固定的y∈R,F(??,y)?0,对任意固定的x∈R,F(x,??)?0,F(??,??)?0,F(??,??)?1 共同点 二元连续型随机变量

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(1)联合分布(律) (也叫联合概率分布) 步骤:①确定随机变量(X,Y)的所有取值数对。②计算取每个数值对的概率。③列出表格。 ②(1)联合概率密度f(x,y) f(s,t)dtds F(x,y)?? 性质: ①x?????yf(x,y)≥0 性质:①pij?0,(i,j?1,2,?) ②??pij??R2????????f(x,y)dxdy?1 ij?1 也可以写成 例如: 联合分布 边缘分布 条件分布 / X Y 0 1 1 0.1 0.25 2 0.1 0 3 0.3 0.25 ??f(x,y)dxdy?1 bac③P(a<??b,c<??d)???df(x,y)dydx (2)边缘概率密度 ①二元随机变量(X,Y)中关于X的 边缘概率密度:??联合概率密度 (2)边缘分布(律) 边缘概率密度 例如: 边缘分布函数 X Y 0 1 1 0.1 0.25 2 0.1 0 3 0.3 0.25 P(X=i) 0.5 0.5 1 fX(x)??f(x,y)dy ??②二元随机变量(X,Y)中关于Y的 边缘概率密度: (3)边缘分布函数(对应边缘概率密度) ①FX(x)? xfY(y)??f(x,y)dx ????P(X=j) 0.35 0.1 0.55 (3)条件分布 用条件概率公式计算 例如: ????fX(x)dx fY(y)dy (??<X?x,??<Y???) y??②FY(y)?P(X?1,Y?2) (??<X???,??<Y?y) P(X?1|Y?2)? P(X?1)P(Y?2)随机变量的

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相互独立性 ?P(X?x,Y?y)?P(X?x)?P(Y?y)?X和Y相互独立??联合分布函数F(x,y)?FX(x)?FY(y) ?f(x,y)?f(x)?f(y)XY? 分布律:X→Y 概率密度:X→Y 2、例题

通过研究两个有联系的随机变量的关系,由已知的随机变量的分布律求出另一个随机变量的分布律,或 由已知的随机变量的概率密度求出另一个随机变量的概率密度 设随机变量?X,Y?的联合分布如下表,则(1)a,b应满足 ;(2)若X,Y互相独立, 则a,b应满足 . 1 作业 Y X 1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 3 1/18 a b 【答案】(1)a+b=1/3,a≥0,b≥0 (2)a=2/9,b=1/9(任取一个(x,y)组合得到等式) 把两个白球随机的放入红、蓝、黄、绿四个盒子,四个盒子依次标有数字1~4,?i表 示第i个盒子内球的数目?i?1,2,3,4?,求(1)??1,?2?的联合分布律和边缘分布律; (2)P??2?1?1?1?;(3)P??1??2?;(4)红蓝两个盒子内球的数目之和?1??2的分布律. (5)?1,?2是否独立,为什么? 【答案】(1)?1 ?1 ?2 2 作业 0 1 2 P(?20 1/4 1/4 1/16 1 2 P(?1?i) 1/4 1/16 1/8 0 0 0 9/16 3/8 1/16 ?j) 9/16 3/8 1/16 1 P(?2?1,?1?1)1/81P(??1|??1)??? (2)21P(?1?1)3/83(3)P(?1(4) ??2)?1/4?1/8?3/8 0 1/4 1 1/2 2 1/4 ?1??2 P

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1?9?1P(??0,??0)?,而P(??0)P(??0)?(5)?1、?2不独立,因为??? 12124?16?4?cx2y二维随机变量(?,?)的联合概率密度为f(x,y)???03 作业 【答案】2x2?y?1其它1?1,求常数c. ??R2f(x,y) dxdy?1 ?1??dx?2cxydy?c?x2?1x112121yy?x2dx 2?c?126421(x-x)dx?c ?c? ?122141?6e?2xe?3yx,y?0设(?,?)的联合概率密度为f(x,y)??求(?,?)的边缘密度函数, ,其它?0并判断?,?是否独立. 4 作业 【答案】当x?0时,f(x,y),f?(x)?????0?????f(x,y)dy?0 当x>0时,f?(x)??f(x,y)dy??6e?2xe?3ydy?2e?2x ???2e?2x, x>0?3e?3y, y>0 同理可得,f?(y)??f(x,y)dx?? ?f?(x)????0 , x?00 , y?0????5 作业 ?210?y?2?x?xy0?x?1,设求P?X?Y?1?. (X,Y)?f(x,y)??3,?0其它?【答案】P(X?Y?1)?1?P(X?Y<1)?1???f(x,y)dxdy X?Y<11765xy)dy?1?? 0037272测量一圆形物件的半径为R,其分布如右表,求圆周长?与面积?的分布. ?1??dx?R P 6 作业 11?x(x2?10 0.1 11 0.4 12 0.3 13 0.2 【答案】?=2πR,?=πR2 ? ? P 20π 22π 24π 144 0.3 26π 169π 0.2 100π 121π 0.1 0.4 设随机变量X的分布密度函数为f(x)??7 2(2)Z?X的密度函数. ?2x0?x?1,求(1)Y??2X?1的密度函数;, 0其它?作业 【答案】(1) FY(x)?P(Y?x)?P(?2X?1?x)?P(X?1?x1?x1?x)?1?P(X<)?1?FX() 222

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