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《概率与数理统计》复习材料 - 图文(3)

来源:网络收集 时间:2019-03-15 下载这篇文档 手机版
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【答案】 20 PPT 21 PPT 【答案】 一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个白球3个红球,从中一次抽3个,求至少有两22 PPT 个是白球的概率. 【答案】设Ai={抽到的3个球中有i个是白球}(i?(2,3)),显然A2与A3互不相容,且 根据加法法则,所求概率为1/4,23 求A、B、C至少有一个发生的概率. PPT 【答案】=1/8. 24 PPT 10件产品中有7件正品,3件次品,7件正品中有3件一等品,4件二等品. 现从这10件中任取一件,记A={取到一等品},B={取到正品}. 求P(B),P(AB),P(A|B). 【答案】P(B )=7/10,P(AB)=P(A)= 3/10,P(A|B)=P(AB)/P(B )=3/7. 给定甲乙两城市,设A={甲市下雨},B={乙市下雨}.已知 求注: = 1-P(B|A)=1-P(AB)/P(A)=1-0.12/0.2=0.4 25 PPT 【答案】设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4. 问现年26 20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少? P(B)=0.4=P(AB). P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.4/0.8=0.5即它能活到25岁以上的概率是0.5

PPT 【答案】设A={能活20年以上},B={能活25年以上},所求为 P(B|A) .依题意,P(A)=0.8, - 11 -

设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,现在从中不放回地摸球三次,每次摸得一球,求27 PPT 第三次才摸得白球的概率. 【答案】设A={第一次未摸得白球},B={第二次未摸得白球},C={第三次摸得白球}.则事件“第三次才摸得白球”可表示为ABC.P(A)=8/10, P(B|A)=7/9, P(C|AB)=2/8, P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=7/45. 即求第三次才摸得白球的概率为7/45 市场上供应的灯泡中,70%来自甲厂,30%来自乙厂,已知甲乙两厂产品的合格率分别是95%和80%。(1) 求市场上灯泡的次品率;(2)假如现在从市场上抽出1个次品,试判断它是由甲厂生产的概率。 【答案】设A1)?0.7,P(A2)?0.3, 1,A2分别表示甲乙两厂的产品,B表示产品为次品,则P(AP(B|A1)?0.05,P(B|A2)?0.2,A1,A2构成一个完备事件组,且都具有正概率. PPT (1)由全概率定理可知,P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?0.7·0.05?0.3·0.2?0.095 即市场上灯泡的次品率为0.095 (2)由贝叶斯定理可知,P(A|B)?10.7·0.057 即它是由甲厂生产的概率为7. ?0.7·0.05?0.3·0.2191928 P(A1)P(B|A1)?P(A)P(B|A)iii?12 ?某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04,现抽查了一个人,试验反应是阳性,问此人是癌症患者29 PPT 的概率有多大? 【答案】设 C={抽查的人患有癌症},A={试验结果是阳性},则C表示“抽查的人不患癌症”.已知 P(C)=0.005,P(C)=0.995, P(A|C)=0.95, P(A|C)=0.04 即此人是癌症患者的概率为0.1066 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的},问事件30 A、B是否独立? 【答案】由于P(A)=4/52, P(B)=26/52, P(AB)=2/52. 可见P(AB)=P(A)P(B),故事件A、B独立.(在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立) 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率. 31 解 将电路正常工作记为W,由于各元件独立工作,有 ,,代入得P(W)≈0.782 ,

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三、一元随机变量

1、表示方法:?、?、?、X、Y、Z

2、“离散型随机变量”与非离散型随机变量中的“连续型随机变量” 概念 一元离散型随机变量 取的值一一列出的随机变量 一元连续型随机变量 值一一列出的随机变量 概率密度函数?(x),记作X~?(x) x可以按一定次序把随机变量可能不可以按一定次序把随机变量可能取的F(x)???(x)dx?P(X?x) ??性质: 分布律/概率密度函数 分布律 ①?(x)≥0(判定一个函数f(x)是否为某随机变量X的概率密度的充要条件) ②??X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn ???③P?x1<X?x2??F(x2)?F(x1) ???(x)dx x1x2?(x)dx?1 P?X?xk??pk,k?1,2,? (利用概率密度可确定随机点落在 某个区间内的概率) F?(x)??(x) ④若?(x)在点x处连续,则有 设X是一个随机变量,称F(x)?P(X?x)(??<x<??)为X的分布函数,记作F(x). 如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 F(x)的值就表示X落在区间(??,x]内的概率. 注:①X是随机变量, x是参变量. ②F(x)是随机变量X取值不大于x的概率.③对任意实数x1<x2,随机点落在区间(x1,x2]内的概率为: 分布函数 P(x1<X?x2)?P(X?x2)?P(X?x1)?F(x2)?F(x1) (共同点) 因此,只要知道了随机变量X的分布函数,它落在某区间内的概率就可以得到全面的描述. 分布函数性质:①0?F(x)?1;②F(x)在(??,??)上是一个不减函数,由此可推出F(x2)?F(x1)?0);③F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1; x? ??x? ??④F(x)右连续,即lim?F(x)?F(x0)(这四个性质是鉴别一个函数是否是x?x0某随机变量的分布函数的充分必要条件)

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①分布函数不连续 其间断点上是右连续的 ①分布函数在R上连续 值a的概率均为0,即P(X?a)?0 ②F(x)最多有可列个间断点,并且在②连续型随机变量取任一指定实数③P(X?x)?P(X?x)?P(X<x) 分布函数 ?F(x)?F(x?0)(不同点) ④P(x1<X<x2)?P(X<x)?P(X?x)?P(X?x) ?P(X?x)?0 ?P(X?x)?F(x) ?P(X?x2)?P(X?x2)?P(X?x1)③P(a?X?b)?P(a<X?b) ?F(x2)?[F(x2)?F(x2?0)]?F(x1) ?P(a?X<b)?P(a<X<b) ?F(x2?0)?F(x1) 即取值落在某区间的概率与端点

无关 3、例题 1357已知离散型随机变量X的可能取值为?2,0,2,5相应的概率依次为,, ,,a2a4a8a试求 (1)a; (2) 概率P{X?2X?0} 1 作业 【答案】由概率的性质知,a?0且P(X?2| X?0)?P(X?2且X?0)P(X?0)371357. ????1,解得a?8a2a4a8a?22 29x??1?0,?a,?1?x?11??设离散型随机变量X的分布函数为F(x)??2,且P{X?2}?,试确定常2?3?a,1?x?2?x?2??a?b,数a,b,并求X的分布律。 【答案】2?P(X?2)?P(X?2)?P(X<2)?F(2)?F(2?0)?(a?b)?(3?a) ① a?b?1 ②12?0 ,x<?1?12 ?, ?1?x<11115作业 由①②得a?,b?. 可得?6. P(X??1)?F(?1)?F(?1?0)??0?, F(x)??6666?1 , 1?x<2?2?1,x?2?P(X?1)?F(1)?F(1?0)?1111,P(X?2)?1?F(?1)?F(1)?. ??2263X的分布律为: X -1 1 2 P 1/6 1/3 1/2

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1?2(1?),1?x?2?设随机变量?的概率密度为f(x)??,求?的分布函数。 x2?0,其他?3 作业 【答案】F(x)??x??11?0 , x<?0 , x<?x?12??f(x)dx???2(1?2) dx , 1?x<2 ??2x??4 , 1?x<2 1xx?????1 , x?2?1 , x?2????Acosx,??x?22, 设随机变量X的概率密度函数为f(x)???其他?0,?试求(1)系数A;(2)X的分布函数;(3)P{0?X?}.4 【答案】(1)F(x)??f(x) dx??Acosx dx?Asinx????4 作业 ? 2?? 2? 2?? 2?2A?1 ?A?1 2(2) F(x)??x??????0 , x<? 0 , x<? ??22??????? x1?sinx?1f(x) dx????cosx dx , ? ?x< ?? , ? ?x< ? 2222?22?2????1 , x??1 , x??2?2?2(3)P(0<X?)?F()?F(0)? 444一批产品的废品率为3%,从中任意抽取一个进行检验,请用随机变量X来描述废品出现的情况,即写出X的分布律。 5 PPT 【答案】用X表示废品的个数,显然它服从0-1分布,其概率函数为P{X=0}=97%, P{X=1}=3%,即X的分布律为 X 0 1 3% ??P 97% 某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是p,求所需射击发数X的分布律. 6 PPT ,【答案】显然,X可能取的值是1,2,…,为计算P{X =k },k = 1,2, …, 可见所求所需射击发数X的分布律为:

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