广州市第一中学2010届高三数学第二轮复习专题 - 不等式(7)

www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net

?1???7.解：(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组??1???1?0x 1?ax由此得1－a＞.因为1－a＜0，所以x＜0，∴1x1＜x＜0. 1?a①

1 ?0x② 1?ax?1???(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：??1???由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜

11，∴1＜x＜. 1?a1?a综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|式的解集为{x|1＜x＜

1}. 1?a1＜x＜0}，当0＜a＜1时，不等1?a8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1]恒成立.

2??3mx?1?1?mx?x在x∈(0，1]恒成立. ??2??1?mx?x?m?22??2x?1?x整理，当x∈(0，1)时，?恒成立， 2?m(x?1)?x?1??1?x2m??2??2x?2mx?1?x即当x∈(0，1]时，?恒成立，且x=1时，?恒成立， 22??m?x?1?m(x?1)?x?1?x?1?1?x21x1?x2∵(0，1]上为增函数，∴??在x∈?0， 2x2x22x1?x2∴m＜恒成立?m＜0.

2x本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net

x2?12又∵(0，1]上是减函数，? ?(x?1)??2，在x∈

x?1x?1x2?1∴＜－1. x?1?1?x2?m?x2?12x恒成立∴m＞恒成立?m＞－1当x∈(0，1)时，?(－1，?m∈?2x?1?m?x?1?x?1?0)①

2??m?0?2mx?1?x当x=1时，?，即是∴m＜0 ?20?1?m(x?1)?x?1?? ②

∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1]时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)

【不等式的证明练习】

一、填空题

1．已知x、y是正变数，a、b是正常数，且?axb=1，x+y的最小值为__________. y2．设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.

3．若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________.

二、解答题

4．已知a，b，c为正实数，a+b+c=1. 求证：(1)a2+b2+c2≥

13本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net

(2)3a?2?3b?2?3c?2≤6

5．已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明：x，y，z∈［0，］ 6．证明下列不等式：

(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz， 则

y?zz?xx?y??xyz1223b?c2c?a2a?b2

z≥2(xy+yz+zx) x?y?abc≥2(?1x11?) yz7．(2001全国)已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n. (1)证明：niAim＜miAin； (2)证明：(1+m)n＞(1+n)m

8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1.

参考答案

一、1.解析：令

ba=cos2θ，=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，

yx∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2??bcot2??a?b?2ab.

答案：a+b+2ab

2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|?(a－d)2＜(b－c)2?(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc? ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc. 答案：ad＞bc

本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net

3.解析：把p、q看成变量，则m＜p＜n，m＜q＜n. 答案：m＜p＜q＜n

二、4.(1)证法一：a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)

131313=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

1313=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］

13=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥

证法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥

13a2?b2?c2a?b?ca?b?c证法三：∵∴a2+b2+c2≥ ?333∴a2+b2+c2≥

13131313证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ. ∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0

∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2

131323131313=+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2

13=+α2+β2+γ2≥

13∴a2+b2+c2≥

本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net

3a?2?1,23b?33c?3 同理3b?2?,3c?2?223(a?b?c)?9?3a?2?3b?2?3c?2??62(2)证法一:?3a?2?(3a?2)?1?∴原不等式成立. 证法二：

3a?2?3b?2?3c?2?3(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)3

?3(a?b?c)?6?3

3∴3a?2?3b?2?3c?2≤33＜6 ∴原不等式成立.

5.证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1－x－y)2=，整理成关于y的一元二次方程得：

2y2－2(1－x)y+2x2－2x+=0，∵y∈R，故Δ≥0

122323121212∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥0，得0≤x≤，∴x∈［0，］

23同理可得y，z∈［0，］

131313证法二：设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，

12131313于是=(+x′)2+(+y′)2+(+z′)2

1323=+x′2+y′2+z′2+ (x′+y′+z′)

211322212(y??z?)=+x′+y′+z′≥+x′+=+x′2

23332本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库广州市第一中学2010届高三数学第二轮复习专题 - 不等式(7)在线全文阅读。