广州市第一中学2010届高三数学第二轮复习专题 - 不等式(4)

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a1a1qn当0?q?1时，Sn????0不可能满足Sn?C?0，即不存在在常数C?0使结论成立。

1?q1?q综合上面的证明可见不存在常数C?0，

1 使等式[lg(Sn?C)?lg(Sn?2?C)]?lg(Sn?1?C)成立。2 还可以直接用反证法证明：

证法二：假设存在常数C>0，使等式能够成立,则有

(1)?Sn?C?0?(2)?Sn?1?C?0 ?

S?C?0(3)n?2?2?(S?C)(Sn?2?C)?(Sn?1?C)??(4)?n2由(4)可得：SnSn?2?Sn?1?C(Sn?Sn?2?2Sn?1)(5)

由平均值不等式可知

Sn?Sn?2?2Sn?1?(Sn?C)?(Sn?2?C)?2(Sn?1?C)

?2(Sn?C)(Sn?2?C)?2(Sn?1?C)?0

?C?0

?C(Sn?Sn?2?2Sn?1)?0

2而由(I)可知SnSn?2?Sn?1?0

?等式(5)不可能成立

1这个矛盾说明不存在常数C?0，使等式[lg(Sn?C)?lg(Sn?2?C)]＝lg(Sn?1?C)成立。

21【例5】 (1990年)设f(x)?lg[1?2x???(n?1)x?nxa]，其中a是实数，n是任意给定

n的自然数，且n?2。

1］(1)如果f(x)当x?(??，时有意义，求a的取值范围。 1]，证明2f(x)?f(2x)当x?0时成立。 (2)如果a?(0，1]时有意义，解：(I)?f(x)当x?(??，

?1＋2x??(n?1)x?nxa?0，x?(??，1]，n?2，

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x??1?x?2?x?n?1??即a????????????1] ??，x?(??，nnn???????????K??－??，(K?1，2，?，n?1)在(??，1]上都是增函数

n??x??1?x?2?x?n?1?? ????????????1]上也是增函数，??在(??，nnn??????????x1n(n?1)n?1?1?122故它在x＝1时取得最大值，－???????(n?1) ???n?n2?nn11???a??(n?1)；?a的取值范围为?a|a??(n?1)?

22?? (2)证法一：

根据f(x)的定义可知 2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0 即 [1?2x???(n?1)x ＋nxa]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2xa]，a?(0，1]，x?0 下面用数学归纳法证之。 A. 设n=2时若

0?a?1，x?0则(1?2xa)2?1?2?2xa?22xa2?2(1?22xa2)?2(1?22xa)，即(1)成立。

1?2x， 若a?1，x?0，因为

(1)

?(1?2x)2?1?2?2x?22x?2(1?22x)?当n?2时，(1)式成立

B. 设n?K时(K?2)，有不等式[1?2x???(K?1)x?Kxa]2?K[1?22x ＋?＋(k?1)2x?K2xa]，其中a?(1，1]，且x?0 则若0?a?1且x?0时

[(1?2x???Kx)?(K?1)xa]2?(1?2x???Kx)2?2(1?2x???Kx)(K?1)xa

＋(K?1)2xa2

?K(1?22x???K2x)?2(1?2x???Kx)(K?1)xa?(k?1)2xa2

?K(1?22x???K2x)?[2?1?(K?1)xa?2?2x(K?1)xa???2Kx(K?1)xa]?(K?1)2xa2 ?K(1?22x???K2x)?[1?(K?1)2xa2]?[22x?(K?1)2xa2???[K2x?(K?1)2xa2]?(K?1)2xa2??本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

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?(K?1)[1?22x???K2x?(K?1)2xa2] ?(K?1)[1?22K???K2x?(K?1)2xa2]

即当n?K?1时，(1)也成立。

由A，B的证明可知对任意自然数n?2，都有(1)成立， 即2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0成立

证法二：

1]，只需证明n?2 时，[1?2x???(n?1)x?nxa]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2xa]，a?(0，x?0，

222?(a1?a2???an)2?(a1?a2???an)?2(a1a2?a1a3???an?1an) 22222222222?(a1?a2???an)?[(a1?a2)???(a1?an)]?[a2?a3)???(a2?an)]?? 222222?[(an?2?an?1)?(an?2?an)]?(an?1?an) 222?n(a1?a2???an)

222?(a1?a2???an)2?n(a1?a2??an)

其中等号当且仅当a1?a2???an时成立。 ?当a?1，x?0时，因1?2x

?[1?2x???(n?1)x?nx]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2x]

当0?a?1，x?0时，因a2?a

?[1?2x???(n?1)x?nxa]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2xa2]?n[1?22x?? ?(n?1)2x?n2xa]

即2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0成立。

【例6】 如图，ΔABC是某屋顶的断面，CD⊥AB，横梁AB的长是竖梁CD长的2倍.设计时应使y?tgA?2tgB保持最小，试确定D点的位置，并求y的最小值.

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解：设AD=x，CD=1， 则AB=2，BD=2–x，（0

DB∵x?2?8?42；当且仅当(x?2)2?8,x?22?2时取等号 x?2142?6?3?22 212∴当x?22?2时，y取得最小值?此时DB?2?(22?2)?4?22,AD:DB?22?24?22?

答：取AD:DB=1:2时，y有最小值

3?22 2【例7】 在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫做一次操作。

(I)设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn（每次注入的溶液都是p%）， 计算b1，b2，b3，并归纳出bn的计算公式（不要求证明）

(II)设p?q?r，且p?r?2(p?q)要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知lg2?0.3010）

a?rap??1004100?1(4r?1p)

a10055a?41414解：(I)b1?b2?a?b1?ap?4100?1[(4)2r?1p?4p] a1005552a?4ap?24100?1[(4)3r?1p?4p?4p] a100555253a?4本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

b3?a?b2?www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net

14n144n?1?bn?[()r?p?2p???np]

1005555(II)bn?pr4n444()?[1??()2???()n?1] 100550055541?()npr4n5?p?1(4)n(p?r) ?()??4100550010010051?5pq14n 依题意有：?()(p?r)?10010051005?p?r?2(p?q)?上式化简得：()n?2

4?n?lg20.3010??3.103 ?至少要注入倒出4次。

1?3lg21?3?0.3010【例8】 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数f(n)（万件）近似地满足下列关系：

f(n)?1n(n?2)(18?n),n?1,2,3,?,12 90（Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？

（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）

??f?1?, n?1解：（Ⅰ）首先，第n个月的月需求量＝?

??f?n??f?n?1?, 2?n?12∵f(n)?1n(n?2)(18?n)， 90∴ f?1??17?1.3． 3090当n?2时，f(n?1)?1(n?1)(n?1)(19?n) ∴ f(n)?fn(?1?)1?(n23?90n3?5 1 9)14?n?7， 3令f(n)?f(n?1)?1.3，即?3n2?35n?19?117 ，解得：∵ n∈N， ∴n = 5 ，6

即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件．

（Ⅱ）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：na?f(n)?0，

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