广州市第一中学2010届高三数学第二轮复习专题 - 不等式(6)

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2?21、已知函数f?x??log1??x?1?x?（1）求函数f?x?的定义域；（2）判断f?x?的单调

2??性，并用函数单调性的定义予以证明

?x2?1?0,???x2?1?022解：（1）由x?1?x?0?x?1?x??x?0或??x??1，

?x?0?2?2?x?1?x故f?x?的定义域为[??,?1]

（2）任取x1?x2??1,令g?x??x2?1?x，则

2??2??2?g?x2??g?x1????x2?1?x2???x1?1?x1???x2?1?x2?1???x2?x1?

??????=

2x2?x1222x2?1?x1?1??x2?x1????x2?x1????x2?x1?????2x2?1?x12?1??????22x2?1?x1?1??22?????(x2?x1)???x2?1?x2???x1?1?x1????????2x2?1?x1?12?0，

故g?x2??g?x1?又函数y?log1x在?0,???上是减函数，

2所以有log1g?x2??log1g?x1?，即f?x2??f?x1?，

22即f?x?在(??,?1]上是增函数

22．解不等式logx3x?1?1?1

解：由x?1?0且x?0，x?1，得x?1， 原不等式等价于3x?1?1?x

?3x?1?x?1 而x?1；?9?x?1??x2?2x?1

??整理，x2?7x?10?0?2?x?5 ∴2?x?5为所求。

【不等式的解法练习2】

一、选择题

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??(x?1)2(x??1)?1．设函数f(x)=?2x?2(?1?x?1)，已知f(a)＞1，则a的取值范围是( )

?1??1(x?1)?xA.(－∞，－2)∪(－，+∞)

1212 B.(－，)

121212C.(－∞，－2)∪(－，1) 二、填空题

D.(－2，－)∪(1，+∞)

a22．已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a，b)，g(x)＞0的解集是(，

22

b)，则f(x)·g(x)＞0的解集是__________. 23．已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________. 三、解答题

4．已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3. (1)求p的值；

px?1px?1(2)若f(x)=

，解关于x的不等式f-－1(x)＞logp1?x(k∈R+) k5．设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.

6．已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2. (1)求p、q之间的关系式； (2)求p的取值范围；

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(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sinθ)的最小值. 7．解不等式loga(1－)＞1

8．设函数f(x)=ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围.

不等式的解法练习2参考答案

一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：

?a?1???1?a?1??a??1 ① 或 ② 或 ③ ??1?22a?2?1?1?1?(a?1)?1??a??1x解①得a＜－2，解②得－＜a＜1，解③得x∈?

1212∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－，1）

答案：C 二、

2.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，

ba2g(x)＜0的解集是(－,?).由f(x)·g(x)＞0可得：

22?a2?x?b??b?x??a2?f(x)?0?f(x)?0??或?,即?a2或?b?ba2g(x)?0g(x)?0???x?????x??2?22?2

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∴x∈(a2，)∪(－，－a2)

b2b2b2b2答案：(a2，)∪(－，－a2)

3.解析：原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得?答案：［－2，2］ 三、

4.解：(1)∵适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3， ∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.

若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.

∴原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.

(2)f(x)=

8x?18x?1?f(?1)?0解得

?f(1)?0a∈［－2，2］.

，∴f-－1(x)=log8

1?x (－1＜x＜1)， 1?x∴有log8

1?x＞log81?x，∴log8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k. 1?xk∵－1＜x＜1，k∈R+，∴当0＜k＜2时，原不等式解集为{x|1－k＜x＜1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}.

72725.解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x?x=－1，由f(x)≤2x2+2x+推得

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f(－1)≤.

1232323232由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，故 2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a).

525252依题意：ax2+x+(－a)≥x2+对一切x∈R成立， ∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0， ∴f(x)=x2+x+1

32323212易验证：x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立.

321232∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.

6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即当x∈［－1，1］时，f(x)≤0，当x∈［1，3］时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)

(2)f(x)=x2+px－(1+p)，

当sinθ=－1时f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0

(3)注意到f(x)在［1，3］上递增，∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.

此时，f(x)=x2+3x－4，即求x∈［－1，1］时f(x)的最小值.又f(x)=(x+)2－显然此函数在［－1，1］上递增.

∴当x=－1时f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.

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