例12．设f?x?是定义在[-1，1]上的偶函数，g?x?与f?x?的图象关于直线x?1?0对称．且当x??2,3?
时， g?x??2a??x?2??4?x?2?a为实数
3??（1）求函数f?x?的表达式；
（2）在a??2,6?或?6,???的情况下，分别讨论函数f?x?的最大值，并指出a为何值时，f?x?的
图像的最高点恰好落在直线y?12上．
分析：（1）注意到g?x?是定义在区间?2,3?上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出f?x?在区间
??1,0?上的解析式，f?x?在区间?0,1?上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．
3???4x?2ax?1?x?0简答：f?x??? 3???4x?2ax0?x?1（2）因为f?x?为偶函数，所以，f?x?（?1?x?1）的最大值，必等于f?x?在区间?0,1?上的最大值．故只需考虑0?x?1的情形，此时，f?x???4x3?2ax．
对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数f?x? 的导数．
简答：如果a??6,???可解得：a?8；
如果a??2,6?，可解得：a?3318?6，与a??2,6?矛盾． 故当a?8时，函数f?x?的图像的最高点恰好落在直线y?12上．
解析：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；
（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上．
例13．已知函数f(x)?131x?(b?1)x2?cx (b、c为常数), 32(Ⅰ) 若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；
(Ⅱ)若f(x)在x?(??,x1),(x2,??)上单调递增且在x?(x1,x2)上单调递减,又满足x2?x1?1，
求证：b?2(b?2c)；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若t?x1，试比较t?bt?c与x1的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)f(x)?x?(b?1)x?c，
由题意得:1和3是方程x?(b?1)x?c?0的两根，
2'222 11
?1?b?1?3,?b??3,解得? ??c?1?3.c?3.??(Ⅱ)由题得:当x?(??,x1),(x2,??)时，f'(x)?0；x?(x1,x2)时,f'(x)?0．
?x1,x2是方程x2?(b?1)x?c?0的两根，则x1?x2?1?b,x1x2?c, ?b2?2(b?2c)?b2?2b?4c?[1?(x1?x2)]2?2[1?(x1?x2)]?4x1x2?(x1?x2)?4x1x2?1?(x2?x1)2?1.2?x2?x1?1,
?(x2?x1)2?1?0,?b2?2(b?2c).
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知x2?(b?1)x?c?(x?x1)(x?x2),
即x2?bx?c?(x?x1)(x?x2)?x,
所以t2?bt?c?x1?(t?x1)(t?x2)?t?x1?(t?x1)(t?1?x2),
?x2?1?x1?1?t,?t?1?x2?0,又0?t?x1,?t?x1?0,
?(t?x1)(t?1?x2)?0,即t2?bt?c?x1.
例14．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t＝0）的函数关系为W＝100t．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?
解：设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为y＝100＋10xt－10t－100t，且0≤t≤16．?根据题意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100t≤300．?
11111?）＝1＋10〔－(?)2＋〕，?
4t2tt1121?)＋〕有最大值3．5．?∴x＞3．5．? 当t＝4时，1＋10〔－(4t220102010??由右边得x≤＋1，当t＝16时，＋1有最小值4．75，∴x≤4．75．? tttt由左边得x＞1＋10（
综合上述，进水量应选为第4级．?
解析：a为实数，函数f(x)定义域为D，若a>f(x)对x?D恒成立，则a>f(x)的最大值；若a 恒成立，则a x2?y2?1(x?0,y?0)上一点引切线，分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A、B两例15．过曲线4点，求当线段|AB|最小时的切点的坐标。 12 xx2解：设|AB|=l，切点为P(x0,y0) ∵x≥0，y≥0 ∴y?1?，∴y'|x?x0??0， 4y04 则所求切线方程为x0x?4y0y?4?0(x0?0,y0?0)。 411612 切线在x轴，y轴上的截距分别为，。∴l?2?2， x0y0x0y02x01642 又P(x0,y0)在曲线上，∴y?1?。∴l?2?(0?x0?2) 24x04?x020 ∴(l)'??28x026322，令，解得。 x??(l)'?003223x0(4?x0)2 ∵在（0，2）内l只有一个导数为零的点，经验证知，在x0?262这点，l取得极小值， 32632也是最小值。 ∴当x0?时，l最小值为9，∴l最小值为3，此时y0?， 33?263??∴切点为??3,3?。 ?? 附：函数的性质与函数图象的特点对照表 函数的性质与函数图象的特点对照表 函数性质 函数的图象 定义 C??P(x,y)|y?f(x),x?M? 自变量x的取值范围 函数值y的取值范围 对任意的x?M都有 f(-x)=-f(x) 对任意的x?M都有 f(-x)=f(x) 对任意的x1、x2??a,b??M 13 图像的特点 一般为一条连续曲线,也可能是由若干条曲线或离散点组成. 图像左右存在的范围 图像上下存在的范围 图像关于原点对称 图像关于y轴对称 在区间［a,b］内， 图像从左到右上升 定义域 M 值域N 奇 偶 性 单 奇函数 偶函数 增函数 （递增 区间） 调 减函数 性 （递减区间） 周期性 零点 正值区间 负值区间 在y轴上的截距 渐近线 过定点 对称中心 当x1 1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( ) A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1} 【解析】:由集合B得x>1 ,? A∩B={x| x>1}，故选（A） 。 ［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。 2、（2008广东惠州一模） “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点?用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ） 14 A B C D 【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。 ［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。 3、（2008年广东惠州一模）设 f?x??1?x，又记 1?xf1?x??f?x?,fk?1?x??f?fk?x??,k?1,2,?,则f2008?x?? （ ） A． 1?xx?11； B．； C．x； D．?； 1?xx?1x【解析】:本题考查周期函数的运算。f1?x??1?f11?x1,f2?x????， 1?x1?f1xf4n?1?x??1?x1,f4n?2?x???1?xx， f3?x??1?f31?f2x?1?,f4?x???x1?f2x?11?f3，据此， f4n?3?x??x?1,f4n?x??x，因2008为4n型，故选C. x?1［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。 34、（2008福建文科高考试题）函数f(x)?x?sinx?1(x?R)，若f(a)?2,则f(?a)的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 3【解析】：f(x)?1?x?sinx为奇函数，又f(a)?2?f(a)?1?1 故f(?a)?1??1即f(?a)?0. ［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。 ?1，x?1?5、（2008广东高考试题）设k?R，函数f(x)??1?x， ??x?1，x≥1?F(x)?f(x)?kx，x?R，试讨论函数F(x)的单调性． 15 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库专题一函数的性质与图象(3)在线全文阅读。
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