专题一 函数的性质与图象
2018年1月18日星期四4时58分4秒
一、 典型例题解析
题型1 定义域与值域
1函数f(x)?log2[(a?1)x2?(a?1)x?]2 例1..
（1）若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f(x)的值域为［－2，＋∞），求a的取值范围。
解：
（1）若a?1，f(x)?log21??1，?定义域为R2
1?02
若a?1，由f(x)的定义域为R知，对任意x?R，(a?1)x2?(a?1)x??a?1?0????1?a?312??(a?1)?4?(a?1)?0?2?
∴a的取值范围为［1，3）
（2）f(x)的值域为［－2，＋∞）
等价于u?(a?1)x2?(a?1)x?11的值域为[，??)24
?a?1?0??1??4(a?1)??(a?1)212???4(a?1)4?
解得a＝2
解析：本题的关键是转换，即把f(x)的定义域为R或值域为［－2，＋∞）转化为对
1中间变量u?(a?1)x2?(a?1)x?的符号和值域的讨论。2
(1)函数值域的常用求法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论
用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)运用函数的值域解决实际问题，此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决，此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 x2?2x?a1例2：已知函数f(x)=,x∈［1,+∞)，(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 x2(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
思路分析 解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想
解得
1
(1)解 当a=
11时，f(x)=x++2 22x7 2∵f(x)在区间［1，+∞)上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞)上的最小值为f(1)=(2)解法一 在区间［1，+∞)上，
x2?2x?af(x)=>0恒成立?x2+2x+a>0恒成立
x2
设y=x+2x+a,x∈［1,+∞)，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3 ?
解法二f(x)=x+
a+2,x∈［1,+∞) x当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
解析 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力
解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想
题型2：函数的解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 要在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 求解函数解析式的方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2 换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配
凑法；
3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 a1(x?) (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式 例3:(1)已知函数f(x)满足f(logax)=2xa?1(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 思路分析 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=logax(a>1，t>0；01,x>0;0
a?1a?1(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
1?a?[f(1)?f(?1)]?f(0)?2?1?得?b?[f(1)?f(?1)]并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，
2??c?f(0)??所以所求函数为f(x)=2x2－1 或f(x)=－2x2+1 或f(x)=－x2－x+1 或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1 解析 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用
知识的能力 解题时要深刻理解“f”的意义，用好等价转化，注意定义域 2
题型3：函数的奇偶性、单调性、周期性
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性与单调性方法：若为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于既把握复合过程，又掌握基本函数 例4、
已知定义在R上的函数f(x)满足f(log2x)?x?a，a为常数x
当f(x)是偶函数时，用函数单调性定义讨论f(x)的单调性 解：令t?log2x,则x?2t(t?R)
?f(t)?2t?
aax即f(x)?2?(x?R)2t2x
因为 f ( x ) 为偶函数，即f ( ? x ) ? f ( x )
则2?x?aaxx?x?2??(2?2)(1?a)?0?xx22
?f(x)?2x?12x
对任意x∈R均成立，?1?a?0，a?1设0?x1?x2x1x2则f(x1)?f(x2)?(2x1?12x1?x211x2)?(2?)x1x222
?(2?2)(1?2x1?x2?1)?(2?2)2x1?x2
x1x2?0?x1?x2，??x1?2x2?0，2x1?x2?1?2x1?x2?1?0
?f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)
∴f(x)在［0，＋∞）上是增函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在（－∞，0］上是减函数 例5：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(
1)=－1, 2x?y), 1?xy当且仅当0 x2?x1的范围是焦点 1?x1x2证明(1)由f(x)+f(y)=f( x?y)可令x=y=0,得f(0)=0, 1?xy 3 x?x)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)为奇函数 1?x2(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( 令0 x2?x1) 1?x1x2∵0 x2?x1>0, 1?x2x1又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< x2?x1x?x1<1,由题意知f(2)<0，?即 f(x2) 1?x2x11?x1x2∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上为减函数 解析本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力，对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 题型4：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题 三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 例6：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 ?y?ax2?bx?c (1)证明由?消去y得ax2+2bx+c=0 ?y??bxΔ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+)2?∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴ c232c］ 432 c>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 4(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ c2b,x1x2= aa|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 c2cc1232b24c4b2?4ac4(?a?c)2?4ac?4[()??1]?4[(?)?] ?(?)??? aaa24aaa2a2c1∈(－2,－) 2acccc1∵f()?4[()2??1]的对称轴方程是?? aaaa2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0，∴a>－a－c>c,解得 4 c1∈(－2,－)时，为减函数 2a∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(3,23) 解析 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 解答本题的关健是熟练应用方程 的知识来解决问题及数与形的完美结合由于此题表面上重在“形”，因而一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数” 例7. 设a为实数，函数f(x)＝x2+|x-a|+1（x∈R） （1）讨论f(x)的奇偶性 （2）求f(x)的最小值 解：（1）方法1： f(?x)?x2?|x?a|?1，?f(x)??x2?|x?a|?1 若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)即2x?|x?a|?|x?a|?2?0 此式对x∈R不成立，故f(x)不是奇函数 22即x?|x?a|?1?x?|x?a|?1对x∈R都成立， 若f(x)是偶函数，则f(-x)＝f(x)， 2只能a＝0，故a＝0时f(x)为偶函数；a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数 方法2： 由f(0)?|a|?1?0，又x?R，故f(x)不是奇函数 若a?0，则f(x)?x2?|x|?1，f(x)为偶函数 若a?0，则f(a)?a2?1，f(?a)?a2?2(a)?1 显然f(?a)?f(a)，f(?a)??f(a)故当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ， 解析：判断函数的奇偶性，即判断关系式f(-x)＝-f(x)或f(-x)＝f(x)对定义域内的一切实数x都成立，如果 存在某个x，使上述关系式不成立，则此函数就不具备奇偶性。 f(0)＝0是定义在R上的f(x)是奇函数的必要条件 。 （2）①当x≤a时，（下左图），f(x)＝x2－x＋a＋1 若a?113时，f(x)?(x?)2?a?224 ， f(x)在（－∞，a］上单调递减， 从而f(x)在（－∞，a］上的最小值为f(a)＝a2＋1 若a?1131时，f(x)在(??，a]上的最小值为f()??a且f()?f(a)2242 5 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库专题一函数的性质与图象在线全文阅读。
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