专题一函数的性质与图象(2)

y x? y O a 1 x a O x 1 2 x??1 2

13函数f(x)?x2?x?a?1?(x?)2?a?24 ②当x≥a时，（上右图）

1131若a??时，f(x)在[a，??)上的最小值为f(?)??a，且f(?)?f(a)2242

1若a??时，f(x)在[a，??)上单调递增，从而f(x)在[a，??)上最小值2

为f(a)＝a2＋1

113综上所述，当a??时，f(x)的最小值是f(?)??a224 当?11?a?时，f(x)的最小值是f(a)?a2?122 1?3时，f(x)的最小值是f()??a224

当a?解析：解本题的关键是去绝对值符号，转化为二次函数，利用二次函数图象及性质对a进行分类讨论。

题型5：指数函数、对数函数与不等式综合问题

掌握指数函数、对数函数函数的概念、图象和性质并能灵活应用图象和性质分析问题、解决问题；特别是底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域.

例8：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数

y=2000(

ax

)(0

(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由 思路分析 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，从中找出bn与n之

间的关系式.

6

11an?2解 (1)由题意知an=n+,∴bn=2000()

210(2)∵函数y=2000(

ax

)(0bn+1>bn+2 10则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn, 即(

a2a)+()－1>0，解得a<－5(1+2)或a>5(5－1) ∴5(5－1)

101对每个自然数n≥2，Bn=bnBn－1 于是当bn≥1时，Bn

7n?2由bn=2000()≥1得n≤20 8 ∴n=20 101

题型6 图象特征与函数性质的联系

例9. （1）已知函数的定义域为R，对任意x,y∈R，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)<0，则函数

f(x)的奇偶性为_________，在区间（－∞，＋∞）是__________（增、减）函数。

解：令x＝y＝0，得f(0+0)＝f(0)+f(0)

?f(0)?0，令y??x，得f(x?x)?f(x)?f(?x)?f(?x)??f(x)即f(x)是奇函数

设

x1?x2，则x2?x1?0?f(x2?x1)?0由f(x2?x1)?f(x2)?f(?x1)?f(x2)?f(x1)?0

?f(x2)?f(x1)即f(x)在区间（－∞，＋∞）上是减函数

解析：解本题应注意两点：①是在f(x+y)＝f(x)＋f(y)中x，y取适当的值；②是利用由x2－x1>0都有f(x2－x1)<0推得f(x2)

（2）已知函数f(x)满足f(x?3)??1且f(3)?1，则f(2010)?f(x)

?f(x?3)??解：

1，猜想f(x)以6为周期f(x)

1??f(x?3)1?f(x)1?f(x)?f(x?6)?f[(x?3)?3]??

?f(2010)?f(335?6)?f(6)?f(3?3)??得6是f(x)的周期

7

1??1f(3)

（3）已知函数f(x)?2x?3，若函数g(x)的图象与y?fx?1?1(x?1)的图象关于

直线y＝x对称，则f(3)＝________

解：如图作出f(x)，f-1(x)的示意图

y f-1(x+1) f-1(x) y=x f(x) x g(x)

将f-1(x)向左平移1个单位，得到f-1(x+1)的图象，而其反函数g(x)的图象只需将f(x)下平移1个单位而得

到

?g(x)?f(x)?1?g(3)?f(3)?1?2?3?37?1?3?12

解析：利用图象直观地反映出g(x)的图象与f-1(x+1)图象的关系，使解题过程大为简化。

题型7：函数的零点

例10、（2007广东高考题）已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a，如果函数y?f(x)在区间[-1，

1]上有零点，

求实数a的取值范围。

【解析】当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=

3不在区间[-1，1]上。 2当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况： ①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时 ???4?8a(?3?a)?0 ?f(?1)f(1)?(a?5)(a?1)?0

????4?8a(?3?a)?0?或? 1?1???1?2a?解得1≤a≤5或a=

?3?7 2②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

8

a?0a?0?????8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0????11 或? ?1???1?1???1?2a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a<

?3?7 2综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

(-∞, ? 3 ? 7 ]∪[1, +∞)

2

注*：.结合二次函数的图像可以得到一系列与二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布

有关的结论：

(1)方程f（x）=0的两根中一根比r大， 另一根比r小?a·f（r）＜0. r (2)二次方程f（x）=0的两根都大于r

?Δ?b2?4ac?0,??b r ????r,2a??a?f(r)?0.??Δ?b2?4ac?0,?b??q,?p??（3）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根?? p q 2a?a?f(q)?0,???a?f(p)?0.

（4）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根 ·f（q）＜0， ?f（p）

或f（p）=0，另一根在（p，q）内 p q 或f（q）=0，另一根在（p，q）内.

（5）方程f（x）=0的两根中一根大于Q，

另一根小于P（p＜q）??

?a?f(p)?0, p q ?a?f(q)?0. 9

注：解法二综合运用分离变量法及换元法，把求a的范围问题转化为求函数的值域问题，避免了

分类讨论，技巧性较强。

题型8：函数的导数及导数的应用

求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取

极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数.

利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y＇的正负判断函数的单调性或求函

数的极值（或最值）

例11．已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1 (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 思路分析 先求函数导数，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=±1所确定的相等关系式，

运用待定系数法求值 解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c ∵x=±1是函数f(x)的极值点， ∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根

?2b??0??①??3a由根与系数的关系，得?

?c??1 ②??3a又f(1)=－1,∴a+b+c=－1, 由①②③解得a=,b?0,c?(2)f(x)=

③

123, 2133x－x, 22333∴f′(x)=x2－=(x－1)(x+1)

222当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0

当－1＜x＜1时，f′(x)＜0

∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数 ∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1, 当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1 解析 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入

是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化 这是解答本题的闪光点 10

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