图形的相似与位似精讲[含解析](5)

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∴解得；t=

． ．

③若QC=QP，

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示． 同理可得：t=

．

秒或

秒时，△CPQ为等腰三角形．

综上所述：当t为2.4秒或

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧妙地将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键．

9．(2014?陕西,第21题8分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．

①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．

根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

考点： 相似三角形的应用

分析： 根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解答： 解：由题意得，∠BAD=∠BCE， ∵∠ABD=∠CBE=90°， ∴△BAD∽△BCE，

21

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∴即

==

，

解得BD=13.6米．

答：河宽BD是13.6米．

点评： 本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 11．（2014?浙江绍兴,第20题8分）课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

考点：相 似三角形的应用；二次函数的最值． 分析：（ 1）设PN=2ymm，则PQ=ymm，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； （2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答． 解答：解 ：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由条件可得△APN∽△ABC， ∴即==， 22

， ， 解得y=备课大师网：免费备课第一站！

∴PN=×2=（mm）， mm，mm； 答：这个矩形零件的两条边长分别为 （2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC， ∴即==， ， 解得PQ=80﹣x． ∴S=PN?PQ=x（80﹣x）=﹣x+80x=﹣（x﹣60）+2400， 2∴S的最大值为2400mm，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）． 点评：本 题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题． 12．（2014?浙江绍兴,第24题14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C． （1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．

（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．

（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

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考点：相 似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质． 专题：压 轴题． 分析：（ 1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长． （2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PA=PC，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值． （3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值． 解答：解 ：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1）， ∴点P的坐标是（2，1）． 23

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∴PA的长为2． （2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示． ∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等， ∴OA=AB． ∵∠OAB=90°， ∴∠AOB=∠ABO=45°． ∵∠AOC=90°， ∴∠POC=45°． ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°． ∴∠NPM=90°． ∵∠APC=90°． ∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM． 在△ANP和△CMP中， ∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP≌△CMP． ∴PA=PC． ∴PA：PC的值为1：1． （3）①若点P在线段OB的延长线上， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N， PM与直线AC的交点为F，如图2所示． ∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP∽△CMP． ∴． ∵∠ACE=∠AEC， ∴AC=AE． ∵AP⊥PC， ∴EP=CP． ∵PM∥y轴， ∴AF=CF，OM=CM． ∴FM=OA． 设OA=x， ∵PF∥OA， ∴△PDF∽△ODA． ∴ ∵PD=2OD， ∴PF=2OA=2x，FM=x． ∴PM=x． ∵∠APC=90°，AF=CF， ∴AC=2PF=4x． ∵∠AOC=90°， ∴OC=x． 24

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∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°， ∴四边形PMON是矩形． ∴PN=OM=x． x： x=． ∴PA：PC=PN：PM=②若点P在线段OB的反向延长线上， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N， PM与直线AC的交点为F，如图3所示． 同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x． ∴PN=OM=OC=x． x： x=或． ． ∴PA：PC=PN：PM=综上所述：PA：PC的值为 25

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