图形的相似与位似精讲[含解析](2)

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分析： 甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′； 乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似． 解答： 解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7， ∴∴，， ， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法正确． 故选A． 点评： 此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 6．

二、填空题

1. （2014?黔南州，第15题5分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则

的值为 ．

来源中@&%国教育出版网^]

考点：相似三角形的判定与性质． 分析：由AD=3，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，

可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案．

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解答：解：∵AD=4，DB=2，

∴AB=AD+BD=4+2=6， ∵DE∥BC，

△ADE∽△ABC，∴

=

，

故答案为：． 点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系

是解此题的关键．

2．（2014?攀枝花，第16题4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 ．

考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形． 分析： 首先延长BA，CD交于点F，易证得△BEF≌△BEC，则可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF的面积，继而求得答案． 解答： 解：延长BA，CD交于点F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF=∠EBC， ∵BE⊥CD， ∴∠BEF=∠BEC=90°， 在△BEF和△BEC中， ， ∴△BEF≌△BEC（ASA）， ∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2， ∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4， ∵CE：ED=2：1 ∴DF：FC=1：4， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△BCF， ∴=（）2=×4=， ， ∴S△ADF=7

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∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=． 故答案为：． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（2014?黑龙江哈尔滨,第20题3分）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则

的值为 ．

第1题图

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形

的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 分析：解题关键是作出辅助线，如解答图所示：

第1步：利用角平分线的性质，得到BD=CD；

第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；

第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD=BD=KD=CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；

第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出

的值．

解答：解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．

∵====，∴BD=CD．

如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．

在△ABD与△AMD中，

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∴△ABD≌△AMD（SAS）， ∴MD=BD=5m．

过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K． ∵MN∥AD，∴

=

=，∴CK=CD，∴KD=CD．

∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形， ∴∠DMK=∠DKM．

由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2； ∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2， 又∵∠DKM=∠3（对顶角） ∴∠DMK=∠4， ∴DM∥GN，

∴四边形DMNG为平行四边形， ∴MN=DG=2FD．

∵点H为AC中点，AC=4CM，∴∵MN∥AD， ∴∴

==．

，即

，

=．

点评：本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综

合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．

4. (2014?黑龙江牡丹江, 第14题3分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 2.3 m．

第2题图

考点： 相似三角形的应用． 专题： 应用题．

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分析： 先根据同一时刻物高与影长成正比求出MN的影长，再根据此影长列出比例式即可．

解答： 解：解：过N点作ND⊥PQ于D， ∴

，

又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8， ∴QD=

=1.5，

∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）． 答：木竿PQ的长度为2.3米．

点评： 在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．

5. （2014?湖北荆门,第14题3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是 （，） ．

第3题图

考点： 位似变换；坐标与图形性质．

分析： 由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 解答： 解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：， ∴OA：OD=1：， ∵点A的坐标为（1，0）， 即OA=1， ∴OD=，

∵四边形ODEF是正方形， ∴DE=OD=． ∴E点的坐标为：（，）． 故答案为：（，）．

点评： 此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键． 4．

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