图形的相似与位似精讲[含解析](3)

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6．（2014?浙江绍兴,第16题5分）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 4

+

．

考点：相 似多边形的性质 分析：根 据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可． 解答： ：∵在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边解都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似， ∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大． ∵矩形的长与宽之比为2：1， ∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为=， ∴另外一个矩形的长为2﹣=，宽为=， ++）=4+． ∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2（1+故答案为4+． 点评：本 题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键． 7．

三、解答题

1. （2014?黑龙江绥化,第21题6分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 （2，﹣2） ； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 （1，0） ； （3）△A2B2C2的面积是 10 平方单位．

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考点： 作图-位似变换；作图-平移变换． 分析： （1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 解答： 解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为：（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为：（1，0）； （3）∵A2C2=20，B2C2=20，A2B2=40， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：××20=10平方单位． 故答案为：10． 点评： 此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键． 2. （2014?湖北宜昌,第21题8分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB． （1）求证：△ADE∽△CDF；

（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与?ABCD的面积之比．

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考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相

似三角形的判定推出即可；

（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2积，即可求出答案． 解答：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，

∴∠DFC=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠ADF=∠DFC=90°， ∵DE为⊙O的切线， ∴DE⊥DC， ∴∠EDC=90°，

∴∠ADF=∠EDC=90°， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠A=∠C，

∴△ADE∽△CDE；

（2）解：∵CF：FB=1：2， ∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x， ∵AE=3EB，

∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=3x，AB=DC=4y， ∵△ADE∽△CDF，

∴∴

==

， ，

=

，

y，分别求出⊙O的面积和四边形ABCD的面

∵x、y均为正数， ∴x=2y，

∴BC=6y，CF=2y，

在Rt△DFC中，∠DFC=90°， 由勾股定理得：DF=

=

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=2y，

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∴⊙O的面积为π?（DC）=π?DC=π（4y）=4πy，

2

四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2y=12y，

22

∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy：12y=π：3． 点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考

查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

3. （2014?湖南衡阳,第26题8分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．

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（1）求∠ADE的度数；

（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断化而变化？如果不变，请求出

的值；反之，请说明理由．

的值是否随着α的变

考点： 旋转的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；

（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判

断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点， ∴CD=AD=BD=AB， ∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，

∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；

（2）∵∠EDF=90°，

∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°， ∴∠PDM=∠CDN， ∵∠B=60°，BD=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°，

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，

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=为定值．

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∴∠CPD=∠BCD，

在△DPM和△DCN中，

，

∴△DPM∽△DCN， ∴∵∴

=

，

，

．

=tan∠ACD=tan30°

的值不随着α的变化而变化，是定值

点评： 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 4. （2014?湖南永州,第21题8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．

考点： 相似三角形的判定与性质．. 专题： 计算题． 分析： 由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长． 解答： 解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴=， ∵AB=6，AD=4， ∴AC===9， 则CD=AC﹣AD=9﹣4=5． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 5. （2014?乐山，第23题10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1． （1）求BD的长；

（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．

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