图形的相似与位似精讲[含解析](4)

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考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．. 专题： 计算题． 分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形BCN相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长； （2）由相似三角形相似比为1：2，得到NC=2MN，根据三角形MND与三角形DNC高相等，底边之比即为面积之比，由三角形DCN面积求出MND面积，进而求出三角形DCM面积，表示出平行四边形ABCD面积与三角形MCD面积，即可求出平行四边形ABCD面积． 解答： 解：（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD， ∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC， ∴△MND∽△CNB， ∴=， ∵M为AD中点， ∴MD=AD=BC，即=， ∴=，即BN=2DN， 设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1， ∴x+1=2（x﹣1）， 解得：x=3， ∴BD=2x=6； （2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2， ∴MN：CN=1：2， ∴S△MND：S△CND=1：4， ∵△DCN的面积为2， ∴△MND面积为， ∴△MCD面积为2.5， ∵S平行四边形ABCD=AD?h，S△MCD=MD?h=AD?h， ∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=10． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 6．（2014?黑龙江哈尔滨,第28题10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD． （1）求证：△ABC为等腰三角形；

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（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．

第1题图

考点：相似形综合题． 分析：（1） 根据等式的性质，可得∠APE=∠ADE，根据等腰三角形的性质，可得∠PAD=2β，

根据直角三角形的性质，可得∠AEB+∠CBE=90°，根据等式的性质，可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定，可得答案；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得∠ABE=∠ACD，根据等腰三角形的性质，可得∠GND=∠GDN，根据对顶角的性质，可得∠AGF的度数，根据三角形外角的性质，∠AFG的度数，根据直角三角形的性质，可得BF与MH的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠FRM=∠FMR，根据平行线的判定与性质，可得∠CBD=∠RMB，

根据相似三角形的判定与性质，可得

，根据线段的和差，可得BR=BF

﹣FR，根据等量代换，可得答案． 解答：（1）证明：如图1，作∠BAP=∠DAE=β，AP交BD于P，

设∠CBD=α，∠CAD=β，

∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD， ∴∠APE=∠ADE，AP=AD． ∵AC⊥BD

∴∠PAE=∠DAE=β，

∴∠PAD=2β，∠BAD=3β． ∵∠BAD=3∠CBD， ∴3β=3α，β=α． ∵AC⊥BD，

∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β． ∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β， ∴∠ACB=∠ABC，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）2MH=FM+CD． 证明：如图2，

由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β， ∴△ABP∽△ACD，

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∴∠ABE=∠ACD． ∵AC⊥BD，

∴∠GDN=90°﹣β， ∵GN=GD，

∴∠GND=∠GDN=90°﹣β，

∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β． ∴∠AGF=∠NGD=2β．

∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β． ∵FN平分∠BFM， ∴∠NFM=∠AFG=β， ∴FM∥AE， ∴∠FMN=90°． ∵H为BF的中点， ∴BF=2MH．

在FB上截取FR=FM，连接RM，∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β． ∵∠ABC=90°﹣β， ∴∠FRM=∠ABC， ∴RM∥BC，

∴∠CBD=∠RMB． ∵∠CAD=∠CBD=β， ∴∠RMB=∠CAD． ∵∠RBM=∠ACD， ∴△RMB∽△DAC， ∴

，

∴BR=CD．

∵BR=BF﹣FR，

∴FB﹣FM=BR=CD， FB=FM+CD． ∴2MH=FM+CD．

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点评：本题考查了相似形综合题， （1）利用了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，直角

三角形的性质；（2）相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，利用的知识点多，题目稍有难度，相似三角形的判定与性质是解题关键．

7. (2014?黑龙江牡丹江, 第28题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段CD的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

第2题图

考点： 相似形综合题；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题： 综合题．

分析： （1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．

（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题．

（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t． 解答： 解：（1）如图1，

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∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10． ∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BC?AC=AB?CD． ∴CD=

=

=4.8．

∴线段CD的长为4.8．

（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示． 由题可知DP=t，CQ=t． 则CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B． ∵PH⊥AC， ∴∠CHP=90°． ∴∠CHP=∠ACB． ∴△CHP∽△BCA． ∴∴∴PH=

．

． ﹣t．

﹣t）=﹣t+

2

∴S△CPQ=CQ?PH=t（

t．

②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100． ∵S△ABC=×6×8=24，

且S△CPQ：S△ABC=9：100， ∴（﹣t+

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t）：24=9：100．

整理得：5t﹣24t+27=0．

即（5t﹣9）（t﹣3）=0． 解得：t=或t=3． ∵0≤t≤4.8，

∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100． （3）①若CQ=CP，如图1， 则t=4.8﹣t． 解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如图2所示． ∵PQ=PC，PH⊥QC， ∴QH=CH=QC=． ∵△CHP∽△BCA． ∴

．

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