数学分析第14章 多元函数的微分学

第14章 多元函数的微分学

14.1 可微性与全微分

定义1：设函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义,对

U?P0?中的

点P?x,y??P?x??x,y??y?,的点,若函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的全增量：?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??A?x?B?y?o?????(lim??x?2???y?2(1)

?0)f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?A?x?B?y?x??y22?x?0?y?0A，B 是与P?x0,y0?无关的常数，则称z?f?x,y?在P?x0,y0?可微，dz例1：求f?x,y??xy在?x0,y0?处的微分。 解：

?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0???x0??x??y0??y??x0y0?y0?y?x0?x??x?ylim?x?y??0p0?A?x?B?y

?x0,y0???0?df?x,y??y0?y?x0?x由定义可得：

A?limf?x0??x,y0??f?x,0y?0?0

?x?0?xf?x0,y0??y??f?x,0y?xB?lim?y?0定义2：z?f?x,y?,?x,y??D,?x0,y0??D若f?x,y?在?x0,y0?的某个领域有定义： 若下面的极限存在：

A?limf?x0??x,y0??f?x,0y?0?0

?x?0?xf?x0,y0??y??f?x,0y?xB?lim?y?0 称f?x,y?在?x0,y0?的偏导数存在，记fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?f?x?x0,y0,??f?y?x0,y0?，若

1

f?x,y?在D内点点偏导数存在，记为：fx,fy,?f?x?y,?f。

例1：设z?xy?x?0?,求zx,zy

例2：设u?sin?x?y2?ez?求ux,uy,uz

定理1：（可微的必要条件）若二元函数f在其定义域内一点?x0,y0?可微，则f在?x0,y0? 的偏导数存在，A?fx?x0,y0?,B?fy?x0,y0?。

xy??例1：讨论：f?x,y???x2?y2??0x?y?022在原点的可微性。

x?y?022解：fx?0,0??limf??x,0??f?0,0??x?x?0?0,fy?0,0??0

?x?y limf??x,?y???xfx?0,0???yfy?0,0???0??lim??0??x?2???y?2

而上述极限不存在，可见偏导数存在，但不一定可微分。

定理2：（可微的充要条件）设函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义 且

?f,?f?x?y在P?x0,y0?处连续，则z?f?x,y?在P?x0,y0?可微。

证明：

?z?f?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0?

?x0??x,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0??x,y0??f?x0,y0??fy?x0??x,y0??1?y??y?fx?x0??2?x,y0??x这里0??1,?2?1又因为fx,fy在?x0,y0?连续，所以：fy?x0??x,y0??1?y??fy?x0,y0???fx?x0??2?x,y0??fx?x0,y0???这里lim??0，lim??0??0??0

?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y???y???x 2

limf?x0??x,y0??y??f?x0,y0????x???y???x2fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y2??0???y?

?lim??0??x?2???y?2?0定理3：（二元函数中值定理）条件如定理2，则

f?x,y??f?x0,y0??fx??,y??x?x0??fy?x,???y?y0???x0??1?x?y0?,??y0??2?y?y0?,0??1?1,0??2?1

函数连续、偏导数、可微分的关系

3 1 2 f x fyf可微 ，连续 4

f连续 fx，fy存在 在上述关系中，反方向均不成立。下面以(x0,y0)?(0,0)点为例，逐一讨论。

?xy22, x?y?0?224?2 ，4?3 例1：f(x,y)??x?y

?0, x2?y2?0?fx(0,0)?fy(0,0)?0均存在，但f(x,y)在(0,0)点不可微，且limf(x,y)不存在，即

x?0y?0f(x,y)在(0,0)点不连续。

3?4 ，3?2例2：f(x,y)?x?0y?0x?y22，这是上半圆锥，显然在(0,0)点连续，

limf(x,y)?0?f(0,0)

2但

f(x,0)?f(0,0)x?xx?|x| ?0?1, x??

?1, x ?0x?故fx(0,0)不存在。由x,y的对称性，fy(0,0)不存在。从而，f(x,y)在(0,0)点不可微（否则，fx(0,0)，fy(0,0)均存在）。

1?2222(x?y)sin, x?y?0?22x?yf(x,y)? 2?1 例3： ??0, x2?y2?0? 3

fx(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xxsin?limx?021x2x?0x?0，

由x,y的对称性，fy(0,0)?0。

f(x,y)?f(0,0)?fx(0,0)x?fy(0,0)yx?y22

(x?y)sin?2221x?y222?x?ysin221x?y22?0（

x?0y?0）

x?y故f(x,y)在(0,0)点可微。

12x1?222xsin?cos, x?y?0?222222x?yx?yx?yfx(x,y)??

?0, x2?y2?0?取点列Pn(xn,yn)，xn?12n?，yn?0，显然Pn(xn,yn)?(0,0)(n??)

fx(xn,yn)??22n?cos2n????(n??)

故limfx(x,y)不存在，从而fx(x,y)在(0,0)点不连续。由x,y的对称性，fy(x,y)在(0,0)x?0y?0点也不连续。

对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微?可导。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微?偏导存在，反之未必。应特别引起注意。

例4：设

?22x?y??sin?fx,y?????01x?y22x?y?0x?y?02222

讨论f?x,y?在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性。 解：

4

1）limfx?0y?0?x,y??0?2f?0,0?，f1x2?x,y?在?0,0?连续。?x?sin2)fx?0,0??limx?0y?0x1x?y22?0,fy?0,0??0x1x?y22222??2xsinfx?x,y?????0??2ysinfy?x,y?????0x?0y?0x?0y?0??x2?y22?cosx?y?0x?y?01x?y22?y?x2?y22?cos21x?y22x?y?022x?y?0limfx?x,y?,limfy?x,y?不存在??x??y22?sin21?x??y2223）lim所以fx?0y?0?0?x??y?x,y?在?0,0?可微分。22

例5：讨论下列函数在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性，偏导数存在性。

x?x?y??1?e22?x?y?0f?x,y???x2?y2

?22x?y?0?0解：

xx?y1)limfx?0y?0?x,y??limx?0y?01?e?22?x?x?y2x32?x?02)fx?0,0??lim1?ex3x?0y?0??1,fy?0,0??022x?x?y?22?3x?y?e?22??x?y?0?222fx?x,y????x?y??22?x?y?0??1x?x?y??2xye22?x?y?0??2fy?x,y????x2?y2??22x?y?0??022 5

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