数学分析第14章 多元函数的微分学(2)

lim?3x2?y22?e2xx?y?22?y?xx?0y?0?xf?y?2?lim4xex42x3x?0y?0???,limfx?x,y?,limfy?x,y?不存在x?0y?0x?0y?0xx?y221?e3）lim?22??x?x,y??f?0,0??fx?0,0??x?fy?0,0??yx?y22??0?limx?y22??0?x?y2?2?lim1?x?x?y22??e2xx?y?22??lim??01?x?x?y22???1?x?x?x2?y22???o?x?x2?y2????0?x2?y?32?y?32?0因此f?x,y?在原微分。

例3：设u?xyz，求dz

14．2 复合函数微分法

??x???s,t?设???y???s,t??s,t??D，z?f?x,y?,?x,y??D1

且：??x,y?x???s,t?,y???s,t?,?s,t??D??D1 定理

??x???s,t?1：设???y???s,t??s,t??D时可微，z?f?x,y?,?x,y??D1可微，则

z?f???s,t?,??s,t??在?s,t?可微。且：

?z???z?x?z?x?x,y??x,y??x?s?x?t??s,?

?s?z?s?t??z?y?z?y?,?x?x,?x???y?st?,stxy

?,sts,?t??思考：推广n元函数的链锁求导法则。

一般若

f?u1,u2,.....um?在?u1,u2,.....um?可微，uk?x1,x2,.....xn?,k?1,2,3......,m在?x1,x2,.....xn?可微??f?xi2m??y2??uk?1?f?ukk?xi,i?1,2,3,.....n

例1：z?ln?u2?v?,u?ex解：

,v?x?y，求zx,zy

2 6

zx?zy?u?e2uu?v2uu?vx?y22?ex?y2?21u?v2??2x??1?2u?v122?uex?y2?x2??

22222?2ye2x?y??u?v2u?v?4yuex?y?1,v?x?y例

?x?rcos?2：设u?u?x,y?可微，??y?rsin???u?1??u???u???u?，证明：???2????? ???r??????r???x???y?证明：

因为?u?r?u????2?u?x?x?r?u?x?x????u?y?y?r?y??2??u?x?cos???u?ysin??u?y??u?y?u?x2??rsin???2?rcos??

??u?1??u???u???u????????????2?r??????r???x???y?例3：u?f??x?y,y??，求ux,uy,uz z????y?;u?f2??z2???z?解：ux?f1??1???x?1?1?f0?f;u?f?f21y1?2??2?y?z?y??y?

例4：u?zsin解：

yx,?x?3s2?2t?3?y?4s?2t求us,ut ?22z?2s?3t?y???y?us?uxxs?uyys?uzzs?z?cos??2x??x?y??1??6s?4zcos????x??x??y??4ssin?x?y???y?y??1?y?2?ut?uxxt?uyyt?uzzt?2z?cos??2??6tz?cos????6tssinx??x?x??x?x??

多重复合函数的求导：

设u?f?x,y,z,t?,x???z,s?,y???x,s,t?,z?w?s,t?，求ut,us 求解道路图：

us?ut??f?????????f???????????????f??????y??x?z?s??x?s??s???z?s?x??z?s?s?????f?????x?z?t??f???????????f???f????z?t??t?y??x?z?t?t?? 7

14．3 复合函数的全微分不变性。

设z?f?x,y?可微，则dz??z?xdx??z?ydy，又若x???s,t?,y???s,t?，则

dz??z?sds??z??z?x?z?z???z?x?z?y?dt???ds?????dt?t?x?s?y?y?x?t?y?t????

??z??x?x??z??y?y??z?zds?dt?ds?dt?dx?dy?????x??s?t?t?y??y??s??x因此上式关于一阶全微分形式的不变性。

14．4方向导数和梯度

定义1：设三元函数f在点p0?x0,y0,z0?的一个领域内U?P0??R3，l从

p0?x0,y0,z0?出发的射线，p?x,y,z??U?p0?为l上的一点，设??p?p0

若limf?p??f?p0???f?l?x0,y0,z0???0存在，则此极限称为f在点p0?x0,y0,z0?沿l的方向导

数。记为

,fl?x0,y0,z0?

方向导数和偏导数的关系。

定理1：若三元函数f在点p0?x0,y0,z0?可微，则f在点p0?x0,y0,z0?沿l的方向

导数存在，若设l的方向余弦?cos?,cos?,cos??，则

fl?p0??fx?p0?cos??fy?p0?cos??fz?p0?cos?

8

?x?x0??x??cos??证明：P是l上任意一点，?y?y0??y??cos?

?z?z??z??cos?0?又因为f在点p0?x0,y0,z0?可微，则：

f?P??f?P0??fx?P0??x?fy?P0??y?fz?P0??y?o???f?P??f?P0??fx?P0??x?fy?P0??y?fz?P0??y?o?????lim????

f?P??f?P0???0??fx?P0?cos??fy?P0?cos??fz?P0?cos?例1：设f?x,y,z??x?y2?z3，求f在点p0?1,1,1?沿l?2,?2,1?方向导数。 解：

cos??222???2??122?2323cos??2?22???2??122??13

cos??212???2??122??f?p0??l?13

定义2（梯度）设f在点p0?x0,y0,z0?存在所有自变量的偏导数，则

?f?p?,f?p?,f?p??为函数fx0y0z0在p0?x0,y0,z0?点的梯度，记为

gradf??f?p?,f?p?,f?p??

x0y0z0?f?p0??l?grad?f??l0?grad?f?p??0cosgrad??f?p??,l?

00l0??cos?,cos?,cos???f当grad?f?p0??,l0夹角为0，

?f?p0??l达到最大值grad?f?p0??。

当grad?f?p0??,l0夹角为??p0??l达到最小值-grad?f?p0??

对多元函数u?f(P)，前面曾讨论了它在某点(x0,y0)的可微、偏导数、连续之间的关系。

9

下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图

2 f连续 1 3 5

f可微 fx，fy,fy存在

4

?f?f?存在 ?，?，?(?i)?(?j)?(?k)?f??f存在 ?l，?l1?4 课本定理

3?5 由偏导数定义和方向导数定义即得。 4?3，5?3 例：函数z??x?y在P0(0,0)点沿任意方向l的方向导数存在，

22?f(P0)??lim

??0?(l)x?y222?02?1 z x?y特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为

?f(P0)?f(P0)|?x|?0|?y|?0??lim??lim?1，?1。 y

?x?0?x?0|?x||?y|?(?i)?(?j)但

?f(P0)?x?lim|?x|?0?x不存在。同理，

?f(P0)?y不存在。

?x?0 从上面的讨论不难看出，关于3、5有以下结论： ?f(P0)?x，

?f(P0)?y存在??f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)?，?存在，且?，????(?i)?(?j)?(?i)?i?f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)??这时有 ?????，?。 ?j?(?j)?j?x?y?i 4?1 否则有4?3，与4?3矛盾

?xy, x ?y?0?4?2 例： f(x,y)??x?y

?0, x ? y?0?limf(x,y)?limx(?x?kx)kx22x?02y??x?kxx?0??1k

?3?7?,P(0,0)故f(x,y)在0点不连续。但任意方向l?(cos?,sin?)，当??时， 44 10

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数学分析第14章 多元函数的微分学(2)在线全文阅读。