数学分析第14章 多元函数的微分学(6)

显然，用Taylor公式的唯一性，计算要简单得多。

三 极值问题

定义1：若：AT?A,?X?Rn,X?0,XTAX?0，则称A为正定矩阵。 若：AT?A,?X?Rn,X?0,XTAX?0，则称A为负定矩阵。

若： AT?A,?X1,X2?Rn,X1TAX1?0?X2TAX2，则称A为不定矩阵。 定理1：A为正定矩阵的充要条件是：

?a11a12??a1n?a21a22??a2n?A????????a?n1an2??anna11a12??a1i??aa22??a2n?,A?21?0,i?1,2,.....n

?k??????ai1ai2??ain?定理2：设A???a?bb?2?，则ad?b?0，则d?A为不定矩阵。

定义1：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义，

若：?P?x,y??U?P0?,P0??x0,y0?有f?P??f?P0?，则P0为极大值点 若：?P?x,y??U?P0?,P0??x0,y0?有f?P??f?P0?，则P0为极小值点

定义2：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义，在P0存在偏导数，且P0为极值点，则fx?x0,y0??fy?x0,y0??0 定义3：Hf?P0??fxx???f?yxfxy??fyy??p0为f在P0点Hesse矩阵。

定理3：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有二阶连续偏导数，且P0为稳定点，则：

1) 若Hf?P0?为正定矩阵，则P0为极小值点 2) 若Hf?P0?为负定矩阵，则P0为极大值点 3) 若Hf?P0?为不定矩阵，则P0不是极值点 思考n元函数的相应的结论。

例1：求f?x,y??x2?5y2?6x?10y?6的极值点

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例2：求f?x,y??x2?xy的极值点 例3：求解最小二乘问题

例4：求f?x,y??x3?2x2?2xy?y2在D???2,2????2,2?上的最大值与最小值。 例5：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有二阶连续偏导数，且f在?x0,y0?取得极大值，则：?fxx?fyy?综合选讲：

例1：设??x?,??x?有连续二阶导数，证明：u???xuxx?2xyuxy?yuyy?0

22p0?0

?y??y??x?????x??x?满足：

例2：讨论函数的连续性，偏导数存在性，连续性，可微性。

?x2ysin? f?x,y???x2?y2??0x?y22x?y?0x?y?02222

例3：设f?x,y??arctan的方向导数.

在圆x2?y2?2x?0在p0?,沿顺时针切线方向???x?22?y?13?例4：设z?f?2x?y,ysinx?，求zxy

例5：设f?x,y?可微，f?1,1??1,fx?1,1??a,fy?1,1??b,??x??f?x,f?x,f?x,x??? 求?'?1?

例6：设fx,fy在?x0,y0?某领域内存在，且在?x0,y0?可微分，则

fxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

例7：f?x,y??ln?1?x?y?在?0,0?的n阶Taylor公式和余项表达试。

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