数学分析第14章 多元函数的微分学(4)

则

?v?x22??v?y22??v?z22?1cr2g??(t?rc)?1?vc22?t2。

例2 设u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，

?u?x22??u?y22?0， u(x,2x)?x， ux(x,2x)?x

2试求uxx(x,2x)，uxy(x,2x)，uyy(x,2x)。 证 注意ux(x,2x)??u|?xy?2x?u1(x,2x)，是u(x,y)对x求偏导数之后，令y?2x所得的

函数，而不是u(x,2x)作为x的一元函数对x的导函数。

在 u(x,2x)?x两边对x求导，得 u1(x,2x)?2u2(x,2x)?1 将 u1(x,2x)?x2代入，得 2u2(x,2x)?1?x2

上式两边对x求导，得 u21(x,2x)?2u22(x,2x)??x 在u1(x,2x)?x2两边对x求导，得 u11(x,2x)?2u12(x,2x)?2x

因为u(x,y)有连续的二阶偏导数，则u12(x,2x)?u21(x,2x)，又已知u11(x,2x)?u22(x,2x)?0，将上两式联立解得

u12(x,2x)?u21(x,2x)?即 uxy(x,2x)?uyx(x,2x)?5353x， u11(x,2x)?u22(x,2x)??x， uxx(x,2x)?uyy(x,2x)??n4343x。 x。

例3 若函数f(x,y,z)对任意正实数t满足关系f(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，则称f(x,y,z)为n次奇次函数。设f(x,y,z)可微，试证明f(x,y,z)为n次齐次函数的充要条件是

?f?x?f?y?f?z x?y?z?nf(x,y,z)

证 \?\ 令 G(t)?f(tx,ty,tz)tn，则

G?(t)?[xf1(tx,ty,tz)?yf2(tx,ty,tz)?zf3(tx,ty,tz)]t?nf(tx,ty,tz)tn?1?0，

故G(t)与t无关，从而G(t)?G(1)?f(x,y,z)，即

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f(tx,ty,tz)?tnf(x,y,z)

\?\ 方程 f(tx,ty,tz)?tnf(x,y,z) 两边分别对x,y,z,t求导，得

tf1(tx,ty,tz)?tnfx(x,y,z)，

tf2(tx,ty,tz)?tfy(x,y,z)，

tf3(tx,ty,tz)?tfz(x,y,z)，

nn xf1?yf2?zf3?nt将前面三式代入第四式即得

x?f?x?y?f?y?z?f?zn?1f(x,y,z)，

?nf(x,y,z)。

或在上面四式中令t?1，得

f1?fx，f2?fy，f3?fz，xf1?yf2?zf3?nf(x,y,z)

即 x

变换微分方程 例4 设u?x?y2?f?x?y?f?y?z?f?z?nf(x,y,z)。

，v?x?y2，w?zey，变换方程 ?z?x22 （假设出现的导数都连续）。 解 这里既有自变量的变换u???z?x?y2??z?x?z

x?y2，v?x?y2，也有函数的变换w?ze。自变量由

y原来的x,y变换为u,v，函数由原来的z变换为w。为了把原来的函数z(x,y)变换为函数

w?w(u,v)，可以把原来的函数z(x,y)视为如下的复合

z?we?y， w?w(u,v)， u?x?y2， v?x?y2

???x??u ????y?w ?即 z ???x

??v ?y????y?

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则

?z?x?e?y[?w?u?u?x2??w?v?v?x2]?12e?y[?w?u??w?v2]

?z?x22?12e?y[?w?u?u2?x?(?)?]?e2?u?v?x?x?x4?v?w2?w?u?v?w?v1?y[?w?u22?2?w?u?v]

2??w?v22]

?z?x?y2?12e?y[?w?u?u222?y??u?v?y12(?u??v?y)??w?v?v22?y]?12e?y[?w?u??w?v ?142e?y[?w?u22??w?v22]?e?y[?w?u??w?v2]

故

?z?x22??z?x?y??z?x?12e?y[?w?u22??w?u?v]?z

即

?w?u2??w?u?v2?2w

例5 设F(x?z,y?z)?0，求dz,zxx,zxy,zyy。

证 方程F(x?z,y?z)?0确定了函数z(x,y)，在方程两边求微分，得

?1F1?F22 (dx?dz)F1?(dy?dz)F2?0 ? dz?(F1dx?F2dy)

两边再求微分，得 F1d2z?[(dx?dz)F11?(dy?dz)F12](dx?dz)

?F2dz?[(dx?dz)F21?(dy?dz)F22](dy?dz)?0

2解得 dz?2?1F1?F2[F11dx2?F22dy2?(F11?2F12?F22)dz

2 ?2F12dxdy?2[(F12?F22)dy?(F11?F21)dx]dz

??1F1?F2[F11dx2?F22dy2?(F11?2F12?F22)(F1dx?F2dy)(F1?F2)22

?2F12dxdy?2[(F12?F22)dy?(F11?F21)dx]F1dx?F2dyF1?F2

??1F1?F2[(F11?2F1(F11?F21)F1?F2?F1(F11?2F12?F22)(F1?F2)22)dx2 18

?(F22?2F2(F12?F22)F1?F2?F2(F11?2F12?F22)(F1?F2)22)dy2?

?2(F12?F1(F12?F22)?F2(F11?F21)F1?F2?1F1?F2?1F1?F2[F11??(F11?2F12?F22)F1F2(F1?F2)22)dxdy]

故 zxx?2F1(F11?F21)F1?F22F2(F12?F22)F1?F2?F1(F11?2F12?F22)(F1?F2)22]

zyy?[F22??F2(F11?2F12?F22)(F1?F2)2]

zxy??2F1?F[F12?F1(F12?F22)?F2(F11?F21)F1?F2?(F11?2F12?F22)F1F2(F1?F2)?22]

例6：设u?f?x,y?满足Laplace：uxx?uyy?0，则v?f?足此方程。 证明：

s?vx?vxxxx?y22x2?x?y,?22?x?y?y也满

,t??yx?y?22?f?s?s?x?f?t?t?x?f?ssx??f?ttx,22??2f???2f??f?f?f?f??s?ts?s?t?s?tt?xx?xxxxxxx?x22?s?t??s?t?t??s??t?s?22??2f???2f??f?f?f?f??s?ts?s?t?s?tt?yy?yyyyyyy?y22?s?s?t?s?t?t?s?t????

vyyvxx?vyy?2?f?s2222?s22x?sy2??2?s?t?t?y2?f2xsx?tysy???2xy?f?s?sxx?syy??x?y22?f?t222?t2x?ty2?

sx?y?x?x2?y?,tx??2xy?x22?2,sy??x2?y2?2,ty??x2?y2?sxx??syy?2x?x?3y22??x2?y?3,?sx?sy22???t2x?ty2?

?vxx?vyy2??2f?f?22???t?ty??022??x?t???s例7：z?f?xy,,x?，求：zxx,zxy,zyy

?y??x? 19

解：

zx?yf1?1yf2?f3,zy?xf1?xy2f2??1??111zxx?y?yf11?f12?f13???yf21?f22?f23??yf31?f32?f33yyy??y??zyy??2x???x???x?x??x?xf11??2?f12??3f2?2?xf21??2?f22?y??y??y???y?

?????x???x???x?11?zxy?f1?y?xf11??2?f12??2f2??xf21??2?f22??xf31??2?f32y??y??y??y???y?例8：设fx,fy,fyx在?x0,y0?某一个领域内存在，fyx在?x0,y0?在连续，证明fxy在

?x0,y0?存在，则

证明：

fxy?x0,y0??lim?limlimffxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

fx?x0,y0??y??fx?x0,y0??y?y?0?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0??y?x?y?0?x?0???y??f?x0??x,y??f?x0,y??fy?x0,y0??1?y??fy?x0,y0??1?y??fyx?x0??2?y,y0??1?y???y0??y????y0??f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0???'?y0??1?y??y?令?y?0,?x?0,fxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

14．5中值定理 Taylor公式

定义1：凸区域：设p1?x1,y2?,p?x2,y2??D，?0???1，有

p?x1???x2?x1?,x1???x2?x1???D

定理1：设二元函数f在凸开区域D?R2上连续，在D的内点可微，则对D内

任意两点，P?a,b?,Q?a?h,b?k??D，存在0???1，使得：

,??k?h?fy?a??hb,??k?k f?a?h,b?k??f?a,b??fx?a??hb证明：

??t??f?a?th,b?tk?,??t?在?0,1?连续，在?0，1?可微，??1????0??????,0???1,由复合函数的求导，'

?f?a?h,b?k??f?a,b??fx?a??h,b??k?h?fy?a??h,b??k?k注1：若D是闭区域，且对D上的任意两点p1?x1,y1?,p2?x2,y2?以及任意0???1，

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