数学分析第14章 多元函数的微分学(3)

limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0?3?4,7?4?lim?cos?sin??(cos??sin?)22??0?cos?sin?cos??sin?，

当??时， limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0??lim0?0??0??0，

?即f(x,y)在P0(0,0)点沿任意方向l的方向导数都存在3?7??cos?sin?, ??,??fcos??sin?44 ????3?7??l,?0, ??44?5?2 否则有4?2，与4?2矛盾。或否则与 3?2矛盾。

2?4 例： 设f(x,y)?(x2?y2)1/3，显然f(x,y)在P0(0,0)点连续，但沿任意?方向l的方向导数不存在，事实上

limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0??lim1??0?1/6 不存在。

3?4 例： 设f(x,y)???23?2?1, xy?0?0, xy?0，则

?f(0,0)?x??f(0,0)?y1?0，但

??0,,?,时， limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0??lim??0? 不存在。

例3：设f可微，l为R2的一个确定向量，若fl?x,y??0，求f 解：假设：

?x?x0?tcos?l:?,?y?y0?tcos?g?t??f?x0?tcos?,y0?tcos??

所以

g'?t??fx?x0?tcos?,y0?tcos??cos??fy?x0?tcos?,y0?tcos??cos??0?g?t??0

因此f在任何平行于l的直线上函数值都为常数。

例4：设f可微，l1,l2为R2上一组线性无关的向量，若fl?fl?0，证明f?x??c

12证明：由于l1,l2为R2上一组线性无关的向量，

11

?l?R,l?c1l1?c2l2l1??cos?1,cos?1?,l2??cos?2,cos?2?l?c1l1?c2l2??c1cos?1?c2cos?2,c1cos?1?c2cos?2???f?l???f?x?c1cos?1?c2cos?2222?c1cos?1?c2cos?2?2??c1cos??c2cos?2?2??f?yc1cos?1?c2cos?2?c1cos?1?c2cos?2?c12??c1cos??c2cos?2?

??c1cos?1?c2cos?2????c1cos??c2cos?2?2??f??fcos??cos?11???x?y????f??fcos??cos?22???y??x?c2?c1cos?1?c2cos?2??02??c1cos??c2cos?2?2由例3得知，f在l为常数，由于f可微分，因此连续，所以f?x??c 14．4 高级偏导数 z?f?x,y?定义并记：

22???z??z???z??z???z??z??fyx ，， ??f??f??xxxy????2?x??y??y?x?x??x??x?y??x??x?y222?x?y?xy2例1：设f?x,y???x?y2??0x?y?0x?y?02222证明fxy?0,0??fyx?0,0?

证明：

?y?x4?4x2y2?y4?22?x?y?02?22fx?x,y????x?y??22x?y?0??0?x?x4?4x2y2?y4?22?x?y?02?22fy?x,y????x?y??220x?y?0???fxy?0,0???1,fyx?0,0??1

定理1：若fxy,fyx在?x0,y0?连续，则fxy?x0,y0??fyx?x0,y0? 证明：

12

fxy?x0,y0??lim?limlimffx?x0,y0??y??fx?x0,y0??y?y?0?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0??y?x?y?0?x?0???y??f?x0??x,y??f?x0,y??fy?x0,y0??1?y??fy?x0,y0???y??fyx?x0??2?y,y0??1?y???y0??y????y0??f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0???'?y0???y??y?令?y?0,?x?0,fxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

推广高阶混合偏导数相等的条件。 复合函数的高阶偏导数求解方法：

?z??x???s,t???y??设z?f?x,y?,??s,t?则

?s?z?t???z?x?z?y??x?s?y?s?z?x??z??x?t?y?

yt进一步：

?z?s22

求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复

合函数的高阶偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用链式法则。 例1：设z?ex?2y，求所有的二阶偏导数。

解：zx?ex?2y,zy?2ex?2y,zxx?ex?2y,zxy?2ex?2y,zyy?4ex?2y 例2：z?arctan解：

yx22yx，求所有的二阶偏导数。

?zx???yx?y22?y?1????x?,zy?xx?y22

zxx??y??22?222xyx?y?2xy?x?y???,z??,z?xyyy222222222?xx?yx?yx?y??????1rrc222例1 设v?g(t?),c为常数，函数g二阶可导，r?x?y?z，证明

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?v?x22??v?y22??v?z22?1?vc22?t2

??x??r?r ?y证 变量之间的关系为 v ?? 注意这里g是某变量u的一元函数，而u?t?。

c??z?t?因为

?v?x??v?r?r?x，

?v?x222?v?r2?v?r ?()?22?r?x?r?x2222由x,y,z的对称性得

?v?y2?v?r2?v?r?v?v?r2?v?r?()?， ?()?22222?y?r?y?r?z?r?z?r?z222而

?r?x?xr，

?r?x22r?x?r?r?x?2r?x222r?r?x23rr2，

由x,y,z的对称性得

?r?y?r?z?yrzr2，

?r?y22?r?yr2322，

?，

?r?z?r2?r?zr?r32。

222于是

?v?x22??v?y22??v?z22?v?r?r?r?[()?()?()]?[??] 2222?x?y?z?r?x?r?y?z222?v?r?[()?()?()]?rrr?r?r2?v2x2y2z2?v3r?rr322

??v?r2?v?rrc22??v2?rr1cr

rc又因为 ??1r2g(t?)?g?(t?)

?v?r?v?t2?2r3g(t?rc)?2cr2g?(t?rc)?1cr2g??(t?rc)

?1r1g?(t?rc)，

?v?t222?1rg??(t?rc)

故

?v?r22??v2?rr?cr2g??(t?rc)?1?vc2?t2。

14

??x??2?v?v?v?r ?y注1 在求2时，要特别注意的函数关系仍然是 ??

?r?r??z?x?t?注2 在求

?v?r时，注意正确使用导数符号g?(t?rc)，不要写成

?v?g?g?(t?rc)，也不要写成

?g?(t?rc)或

?g?r。事实上，

?g?r??1cg?(t?rc)。

注3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是

?v?x22??v?y22??v?z22，函数v作为

自变量x,y,z的函数，是由中间变量r?(?r?x)?(2x?y?z?r?x2222222复合而成，利用

??r?z22?r?y)?(2?r?z)?1，

2??r?y2?2r

我们得到了

?v?x22??v?y22??v?z22??v?r2??v2?rr

这样把求v对自变量x,y,z的偏导数转化为对中间变量r的偏导数，从而使计算简单了。试比较直接求

?v?x2?v?x22??v?y22??v?z22的情形。

??1r2g(t?r?r1r?r?xrxr?)?g?(t?)?3g(t?)?g(t?) 2c?xcrc?xccrcr?v?x2??1r?3g(t?1rc)?rc3x?rr4?x3g(t?rc)?x?rcrrc3?x2g?(t?x?r2rc)

rccr2g?(t?)?2x?rcr?xg?(t?)?24cr?xg??(t?)

?[?1r3?3xr52]g(t?rc)?[?1cr2?3xcr]g?(t?rc)?x223crg??(t?rc)

由x,y,z的对称性得

?v?y222?[?1r3?3yr52]g(t?rcrc)?[?1cr1cr22?3ycr3zcr24]g?(t?rcrc)?y223crz22g??(t?rcrc)

?v?z

2?[?1r3?3zr2245]g(t?)?[??]g?(t?)?cr3g??(t?)

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