p???(x)???e??(x?y)?e??ydy0x???e??x?x0e?(???)ydy
????x??x??(???)[ee],?????2??x??????xe,x?0时，
p???(x)?0
3.53 设随机变量
?与?独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|???|的分布。
解：??服从(?1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知，
p?[min(x?1,1)?max(x,0)]???x?1?1?x?0???(x)?1?x0?x?1在0?x?1时，|???|的分布函数
F(x)?P(|???|?x)?P(?x?????x)??0(t?1)dt??x(1?t)dt?2x?x2
?x0所以|???|的分布密度为
p???2(1?x)0?x?1|???|(x)
?0其它3.54 设随机变量
?与?独立，分别服从参数为?与?的指数分布，求???的分布密度。
解：由
p?(x)??e??x,x?0得p??(x)??e?x,x?0，所以
p???(x)?????p?(y)p??(x?y)dy
在
x?0时，
p???y)???(x)??0?e?e?(x?ydy???e?x(???)
在
x?0时，
p???(x)????e???x?e?(x?y)dy???e??x(???)
所以
???e?xp?(???)x?0???(x)?? ???e??x?(???)x?0
36
3.56 设随机变量
?与?独立，且分别具有密度函数为
1??p?(x)???1?x2??0x??xe?p?(y)????02|x|?1|x|?1
2x?0 x?0证明
??服从
N(0,1)分布。
x)?xe?x2证：由
p?3?1?(2,x?0得p1(x)?xe2x2,?x?0。故
p???(y)?p?1(y)?????|x|p?(yx)p?(x)dx
令
12x2?u?y22，则
12p?y22?y??(y)?1222?e??0u?e?udu?12?e所以
??服从
N(0,1)分布。
3.58 设随机变量
?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求??的密度函数。
x)???解：
p1??(??p?(xz)p?(z)|z|dz?a?0zpxz)dz ??(当0?x?1时，
p(x)?1a??a2?0zdz?12 当
x?1时
px)?1ax?(?1?a2?0zdz2x2
所以
??的密度函数为
?p??0x?0?(x)??10?x?1????12
2x2x?1 37
3.59 设随机变量?与?独立，都服从参数为?的指数分布，求??的密度函数。
解：在
x?0时，
p?(x)???p?(xy)p?(y)|y|dy??????
2??xy0?ee??yydy?1(x?1)2在
x?0时，p?(x)?0。
?3.60 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为
?p(x,y)??1?xy?|x|?1,|y|?1 ?04?其它证明：
?与?不独立，但?2与?2独立。
证：由于
p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。由于
?P(?2?x)??1x?1???x11?ty?x(??14dy)dt?x0?x?1
?0x?0?y?P(?2?y)??11???y11?tx?y(??1dx)dt?y0?y?1
04?y?0??1x,y?1x0?x?1,y?P(?2?x,?2?y)???1?yx?1,0?y?1
??xy0?x,y?1??0其它所以对一切的x,y，都有P(?2?x,?2?y)?P(?2?x)P(?2?y)，故?2与?2相互独立。3.61 设随机变量
?具有密度函数
?p(x)??2?cos2x???x??
??22?0其它求E?,D?。
38
解：E????2x?2?2?cos2xdx?0
2D??E?2???2222?1??x2?cosxdx?12?2 3.62 设随机变量
?具有密度函数
?x0?x?1p(x)???2?x1?x?2
??0其它求E?及D?。
E???1解
x2dx??201x(2?x)dx?1，
1
E?2??320xdx??1x2(2?x)dx?7/6，
D??E?2?(E?)2?1/6。
3.63 设随机变量
?的分布函数为
?0x??1F(x)???a?barcsinx?1?x?1
??1x?1试确定常数(a,b)，并求E?与D?。
解：由分布函数的左连续性，
??a?b?arcsin1?1,?a?b?arcsin0?0, 故a?1/2,b?1/?。
E???1?1x?d(112??arcsinx)
1 =
?x?1?1?x2dx?0，
E???1x2x2D??dx2/2?1?1?x2dx???101?x2????0sin2tdt?1/2。3.64 随机变量
?具有密度函数
39
?A?x??e?x/?,x?0p(x)??
x?0?0,其中
??1,??0,求常数A,E?及D?。
1??A?x??e?x/?dx?A?????1y?e?ydy
00??解：
=故
A???1T(??1)，
A??1。
???1?T(??1)
E???A?x??1?e?x/?dx?A????2?T(??2)?(??1)?,0E???A?x??2?e?x/?dx?A????3?T(??3)0?
=( D??1)(??2)?2
??E?2?(E?)2?(??1)?2
?服从(?11)上的均匀分布，求??sin??2,2的数学期望与方差。
3.66 设随机变量
解：E???sin?xdx?0,
2121?2121?2D??E???sin2?xdx?1/2。
3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客候车时间为
，则?服从?0,300?上的均匀分布，则 ?（秒）
1， ?x?dx?150（秒）03003001， E?2???x2?dx?30000(秒2）0300E???300D??30000?1502?7500(秒2）。
3.71 设1,??2,??n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的k(1?k?n)，有
??1????kE???????n?1?k???n?。
40
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