?1?1p(x,y)??2(x2?y2)（2）?ex?0,y?0或x?0,y?0
???0其它?1xk1?1(y?x)k2?1e?y（3）p(x,y)????(k0?x?y
?1)?(k2)?0其它解：（1）
p?(x)???2e?y?11x3dy?2x3,(x?1)p?(x)?0,(x?1)
p2e?y?1?y??(x)???1x3dx?e1,(y?1)p?(x)?0,(y?1)
（2）
x?0时， ?1x2
p1?(x)??02(x2?y2)2???edy?12?e?
x?0时，
x2
p?(x)???12(x2?y2)0?e?1dy?12?e?2
x2y2所以，
p?(x)?1222?e?。同理，
p?(y)?12?e?。
（3）p)?xk1?1??(k(y?x)k2?1e?ydy?1xk2?1?(xe?x,(x?0) 1)?(k2)?x?(k1)
p?(x)?0,(x?0)
pe?yyxk1?1(y?x)k2?1dx?1yk1?k2?1 ?(y)??(k1)?(k2)?0?(k,(y?0)1?k2)
p?(y)?0,(y?0)3.34 证明：若随机变数
?只取一个值a，则?与任意的随机变数?独立。
证：
?的分布函数为
Fx)???0x?a?(
?1x?a设
?的分布函数、(?,?)的联合分布函数分别为F?(y),F(x,y)。
当
x?a时，
F(x,y)?P(??x,??y)?0?F?(x)F?(y)。当
x?a 时，
31
F(x,y)?P(??x,??y)?P(??y)?F?(x)F?(y)F(x,y)?F?(x)F?(y)，故?与?相互独立。
3.35 证明：若随机变数
。所以，对任意实数
x,y，都有
?与自己独立，则必有常数c，使P(??c)?1。
，所以
证：由于
P(??x)?P(??x,??x)?P(??x)P(??x)F(x)?[F(x)]2，
F(x)?0或1。由于F(??)?0,F(??)?1，F(x)非降、左连续，所以必有常数c，使得
?0x?cF(x)??
0x?c?故P(??c)?1。
?,?)的密度函数为
?1?p(x,y)?????0x2?y2?1其它3.36设二维随机变量(
问
?与?是否独立？是否不相关？
p?(x)??p?(y)?1?x2解：
dy?1?x2??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。
同理，
21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。
由于
p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。
又因
p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于
y都是偶函数，因而
E??E??E(??)?0，故
cov?(,?)?0， ?与?不相关。
3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：
?100?p(x)??x2??0是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的） 解：设这类电子管的寿命为
x?100x?100
一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又
?，则
32
P(??150)??所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(21002 dx?150x23?3)3?827；三个这类管子全部要替换的概率是(1?2)3?1。
3273.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。
解：设球的直径为
11?，则其体积为????3。y??x3的反函数x?36y?,dx?266336?y2dy。由
?的密度函数p?(x)?1(b?a)，a?x?b，得?的密度函数为
2??p?(y)??(b?a)?336?y2?0?3.45 设随机变数解：在
?6a3?y??6b3,
其它。?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。
x?0时，
P(??x)?P(?x???x)??x12??xe?t22dt。
所以
?的分布密度
2/2p?(x)?2/??e?x3.46 设随机变数
,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。
?服从N(a,?2)分布，求e?的分布密度。
解：
y?ex的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?2)分布，推得??e?的分布密度为
?1?12??oxp?(lny?a)???y?0, 2p?(y)??2??y?2???y?0.?03.47 随机变数
，其分布函数为F?(x)，又?服从?0,1?上?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0（例如正态分布等）
的均匀分布。证明
??F??1(?)的分布函数与?的分布函数相同。
的
解：因为
?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0，所以F?(x)是严格上升函数。由于?0,1?上的均匀分布，所以??1分布函数F?(x)?P(??x)?P(F?(?)?x)?P(??F?(x)?F?(x)，对任意的x都成立。所以?与
?的分布函数相同。
?与?独立，求???的分布密度。若（1）?与?分布服从(a,b)及(?,?)上的均匀分布，且
3.48 设随机变量
33
（2）?与?分别服从(?a,0)及(0,a)上的均匀分布，a?0。 a???b??；
解（1）
p?(x)?1/(b?a),a?x?b;p?(x)?0,其它。 p?(x)?1/(???),??x??;p?(y)?0，其它。
???
p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy
=
1?man(x?b,?)(b?a)(???)dy
min(x?a,?) =其它。 （2）
?min(x?a,?)?max(x?b,?)?/?(b?a)(???)?,a???x?b??;p???(x)?0，
p?(x)?1/a,?a?x?0;p?(x)?0，其它， p?(x)?1/a,0?x?a;p?(x)?0，其它。
?min(x?a,?)??max(x,0)
p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy?? =
1/a2dy
?min(x?a,a)?max(x,0)?/a2
a?xa2,?a?x?a;p???(x)?0，其它
=
3.49 设随机变量
?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为
p(x)?1?x/a?e,(a?0) 2a求
?+?的密度函数。
p?(x)?p?(x)?1?x/a， ?e2a?解：
p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy，
??当
x?0时，
p???(x)??1?|x?y|?|y|?exp???dy??4a2a???x?y?yx?y?ya0?x?1a?2[?edy??e04a??1x?x?(1?)ea4aady??ex??y?x?yady]
当
x?0时，
34
x?y?yy?x?yy?x?yp1x????(x)?a4a2[???edy??0e?a??axdy??0edy]?14a(1?xxa)ea 所以
p?1?|x|???(x)a2(a?|x|)ea4
3.50 设随机变量
?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为
p(x)?1?(1?x2)
证明：??12(???)也服从同一分布。
证：
p?111???(y)?????21?x21?(y?x)2dx?1?2x?y2(x?y)?y?2y(y2?4)???[x2?1?(x?y)2?1]dx?1
22?y(y2?4)?1)?yarctgx?ln((x?y)?1)?yarctg(x?y)]|?2[ln(x???2?(y2?4)所以
p12(???)(z)?2?[(2z)2?4]2?1?(1?z2)
即
??12(???)也服从相同的柯西分布。
3.51 设随机变量
?与?独立，分别具有密度函数
??e??xpx?0?(x)???0x?0
)????e??xpx?0?(x
?0x?0（其中??0,??0）
，求?+?的分布密度。 解：
x?0时，
35
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