?n1?n2?kn1?n2?kP(????k)???k??pq??2.28 设
,k?0,1,,?,n1?n2。
?与?为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为
P(??n)?P(??n)?1,n?1,2,? n2求
???的分布列。
解P(????n)??P(??k)P(??n?k)??k?1n?111n?1 ??kn?kn22k?12n?11?具有分布：P(??k)?,k?1,2,3,4,5，求E?、E?2及E(??2)2。
511解，E??(1?2?3?4?5)?3，E?2?(12?22?32?42?52)?11
552.29 设随机变量 E(?2?2)2?E?+4E?+4=27
2.30设随机变量
?具有分布：P(??k)?k?11,k?1,2,?，求E?k2?及D?。
k?1k1??1???k??解 E???k2k?1?2?k?12 D?k21?2?1?2?2，E???k??k??2k?1?2?k?12?6
??E?2?(E?)2?2
k2k1]?k,k?1,2,?，问?是否有数学期望？ 2.31设离散型随机变量?的分布列为：P[??(?1)k2?2k11|?k??解 ?|(?1)k2k?1k?1k?k，因为级数
?k发散，所以?没有数学期望。
k?1?12.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、?、10克，现有三组砝码：
（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克） 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？
解 设1、
??2、?3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有
物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1
?
?2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1
16
?3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1
于是 E1 E2??1(1?1?2?2?1?2?2?3?3?1)?1.8 101(1?1?1?1?2?2?2?3?3?1)?1.7 101E?3?(1?1?2?3?1?2?2?3?4?1)?2
10??所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。
2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, ?10米的概率各是0.16，
?20米的概率各是0.08，?30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。
解 设场地面积为
S米2，边长的误差为
?米，则
S?(??50)20且
E??0E?2?2(102?0.16?202?0.08?302?0.05)?186
所以ES?E(??500)2?E?2?1000E??250000?250186(米2)
2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为
p1、p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学
p1+p2+p3。
证 令
?i???1第i架仪器发生故障?0第i架仪器未发生故障i?1,2,3
?为发生故障的仪器数，则E?i?P(?i?1)?pi,i?1,2,3，
所以E??E?1?E?2?E?3?p1+p2+p3。
2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。 解 设，
?10?1?14?，因而E?i?则?i的分布列为1??15?1515?。设
?为查得的不合格品数，则
????ii?1150，所以E???E?i?10。
i?11502.38 从数字0，1，?，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。
解 设
?为所选两个数字之差的绝对值，则P(??k)?n?k?1,k?1,2,?,n，
n?1????2????nn?k?12n?22?[(n?1)k?k]?于是E???k。 ?n?1n(n?1)3??k?1k?1???2???n 17
2.39 把数字1,2,?,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。
? 设????1数字k出现在第k个位置上解k则?k的分布列为：?10?11?? ?0数字k不在第k个位置上?n1?n??nn于是E?1k?P(?k?1)?n，设匹配数为?，则????k，因而E??k?1?E?k?1。
k?12.40 设
?为取非负整数值的随机变量，证明：
?(1) E???P(??n);
n?1?(2) D??2?nP(??n)?E?(E??1).
n?1证明 (1)由于E????nP(??n)存在，所以该级数绝对收敛。从而
n?0?E???nP(??n)?n?1???n???P(??n)?(??i)。
n?1i?1??P(??n)?i?1n?i?Pi?12?(2) D?存在，所以级数E???n2P(??n)也绝对收敛，从而
n?0?D??E?2?E??E?(E??1)??n(n?1)P(??n)?E?(E??1)
n?1?n???2??iP(??n)?E?(E??1)?2??iP(??n)?E?(E??1)
n?1i?1i?1n?i??2?nP(??n)?E?(E??1).
n?12.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为
?，则
P(??1)?1，P(??n)?pn?1?qn?1,n?2,3,?(q?1?p)
??利用上题的结论，E??P(??1)+?P(??n)=1+?(pn?1?qn?1)
n?2n?2
18
pqp2?p?1 ?1???1?p1?qp(1?p)2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率之间产品总数的数学期望与方差。
解 设第ip，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修
?1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为?i，i?1,2,?,k.又在两次检修之间产品总数
k为
?，则????i.
i?1因
?i独立同分布，P(?i?j)?qj?1p,j?1,2,?(q?1?p)，由此得：
?j?1E?i??jqj?11?2p?，E?i??j2qj?1p?2?p，
pp2j?11?p。 p2D?i?E?i2?(E?i)2?kkk(1?p)k。 E???E?i?，D???D?i?2ppi?1i?12.46 设随机变量
?与?独立，且方差存在，则有
D(??)?D??D??(E?)2?D??D??(E?)2（由此并可得D(??)?D??D?）
证明 D(??)?E?2?2?(E??)2?E?2E?2?(E?)2(E?)2
?E?2E?2?E?2(E?)2?E?2(E?)2?(E?)2(E?)2
?E?2D??(E?)2D??D??D??(E?)2?D??D??(E?)2
2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为
?和?：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一
个数取后不放回就取第二个数，求在
??k(0?k?9)的条件下?的分布列。
110i?0,1,?,9.
解 (1) P((2) P(??i|??k)???i|??k)?1(i?0,1,?,9,i?k) , P(??k|??k)?0 92.49 在
n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令
?1在第i次试验中A出现?0在第i次试验中A不出现i?1,2,?,n
19
?i??
求在
???2????n?r(0?r?n)的条件下，?i(0?i?n)的分布列。
1解 P(?i?0|?1??2????n?r)?P(?i?0,?1????i?1??i?1????n?r)
P(?1??2????n)?n?1?rn?1?rq??q??pq n?r ????n?n?rn?r??pq?r???P(?i?1|?1??2????n?r)?1?n?r?r。
nn2.50 设随机变量
?1，?2相互独立，分别服从参数为?1与?2的普哇松分布，试证：
k?1??n???? P(?1?k|???2?n)????k??????1???12?证明
??1??1???????12??n?k
P(?1?k|?1??2?n)?P(?1?k,?1??2?n)
P(?1??2?n)P(?1?k)P(?2?n?k)?
P(?1??2?n)由普哇松分布的可加性知
?1+?2服从参数为?1+?2的普哇松分布，所以
?k1k!(n?k)!(?1??2)n?(?1??2)en!为
e??1??n2?ke??2 P(?1?k|?1??2?n)??1??n????????k?????????12?k??1??1???????12??n?k
2.51 设
?1，?2，?，
?rr个相互独立随机变量，且
?i(1?i?r)服从同一几何分布，即有
P(?i?k)?qpk?1,k?1,2,?,(1?i?r),其中q?1?p。试证明在?1??2????r?n的条
件下，(?,?2,?,?r)的分布是均匀分布，即
1P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n?1，其中n?n2???nr?n.
1?n?1???r?1?????n1,?,?r?nr|?1??2????r?P(?1?n1,?,?r?nr,?1????r?n)
P(?1????r?n)P(?1?n1,?,?r?nr) ?
P(?1????r?n)证明 P(?1由于
?1，?2，?，?r相互独立且服从同一几何分布，所以
20
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