魏宗舒版《概率论与数理统计教程二》课后习题解答（广东数学自考(6)

成立时，方程4x2?4?x???2?0有实根。不等式（1）的解为：??2或???1。

因此，该方程有实根的概率

p?P(??2)?P(???1)?P(??2)??5125dx?35。

3.17 某种电池的寿命

?服从正态N(a,?2)分布，其中a?300（小时）

，??35（小时） (1) 求电池寿命在250小时以上的概率； （2）求

x，使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9。

解：（1）P(??250)?P(??30035??1.43)

=P(??30035?1.43)??(1.43)?0.9236；

（2）P(a?x???a?x)?P(?x??300x35?35?35 =?(x35)??(?x35)?2?(x35)?1?0.9

即

?(x35)?0.95所以x35?1.65 即x?57.75 3.18 设?(x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x?0时，有

1x2211?x222?e?.x?1??(x)?2?e(1x?1x3) 2y2 证： 1??(x)?1?1xe?y2?22????dy?12??xe?dy

x2 =

121?y222?e?.11x?2???xy2edy

x2y2 =

1e2(1?1132?xx3)?2???y4e?2xdy 所以

x22

1e?22?.1?1??(x)?1?x2x2?e(1x?1x3)。 3.21 证明：二元函数

F(x,y)???1x?y?00x?y?0

?

26

对每个变元单调非降，左连续，且F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0，但是

F(x,y)并不是一个分布函数。

证：（1）设?x?0，

若

x?y?0，由于x??x?y?0，所以F(x,y)?F(x??x,y)?1， 若

x?y?0，则F(x,y)?0。当x??x?y?0时，F(x??x,y)?0；

当

x??x?y?0时，F(x??x,y)?1。所以 F(x,y)?F(x??x,y)。

可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。

（2）

x?y?0时

?limx?0F(x??x,y)?limF(x,y??y)?0=F(x,y)，

?y?0

x?y?0时，

?limx?0F(x??x,y)?lim?0F(x,y??y)?1=F(x,y)，

?y 所以F(x,y)对x、y左连续。

（3）F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0。

（4）P(0???2,0???2)?F(2,2)?F(2,0)?F(0,2)?F(0,0)??1， 所以F(x,y)不是一个分布函数。

3.23 设二维随机变数(?,?)的密度

?1p(x,y)???2sin(x?y)0?x???2,0?y??2

?0其它求（?,?）的分布函数。 解：当0?x??2，0?y??2时，

F(x,y)?P(??x,??y)

=

?xy10?02sin(t?s)dsdt 27

1x=2?0[cot?cos(t?y)]dt =12[sinx?siny?sin(x?y)],所以 ??0(x?0)?(y?0)?1[sinx?siny?sin(x?y)]0?x????22,0?y?2 F(x,y)??1?(sinx?1?cosx)0?x??,y???2?122

(1?siny????2cosy)x?2,0?y?2??1x???2,y?23.24 设二维随机变数(?,?)的联合密度为

?ke?3x?4yp(x,y)??x?0,y?0?0其它

（1） 求常数k； （2） 求相应的分布函数； （3）

求P(0???1,0???2)。

??解：（1）??3x?4y0?0kedxdy?k?4?0e?3xdx?k12， 所以k?12；

（2）

x?0,y?0时，

F(x,y)??x3t?480?yy12e?dtds?12(?xe?3tdt)(?ye?4800ds)

=(1?e?3x)(1?e?4y)，所以

(x,y)???(1?e?3x)(1?e?4y F)x?0,y?0?0其它

（3）P(0???1,0???2)

=F(1,2)?F(0,2)?F(1,0)?F(0,0)

=1?e?3?e?8?e?11。

3．25 设二维随机变数(?,?)有密度函数

p(x,y)?A?2(16?x2)(25?y2)

28

求常数

A及(?,?)的密度函数。

????????p(x,y)dxdy???解： ?A??????2(16?x2)(25?y2)dxdy ?4A?dx?dyA?2?016?x2?025?y2?20?1所以，

A?20；

F(x,y)??x???y??p(t,s)dtds?20xydtds?2??????(16?t2)(25?s2)?20y

?(?xdtds2??16?t2)(???25?s2)?1x?y??2(arctg4?2)(arctg5?2)3.26 设二维随机变数(?,?)的密度函数为

p(x,y)???4xy0?x?1,0?y?1?0其它

求（1）P(0???12,14???1);(2)P(???);(3)P(???);(4)P(???)。解：

(1)P(0???1,11???1)??2?11211524014xydxdy?4?xdx40?1ydy?464;(2)P(???)?x??4xydxdy?0;?y

(3)P(???)?x??4xydxdy??y?11110?x4xydydx??02(x?x2)dx?2;(4)P(???)?123.28 设(?,?)的密度函数为

?p(x,y)??1?0?x?1,0??2y?2

?0其它求

?与?中至少有一个小于

12的概率。

29

解：

1111P[(??2)?(??2)]?1?P(??2,??2)?1?????dxdy?1??1115

11p(x,y)1?1dxdy?2222283.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以

?和?表示这两个组件的寿命（以小时计）

，设(?,?)的分布函数为 )???1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)F(x,yx?0,y?0?0其它

求两个组件的寿命都超过120的概率。 解：

P(??120,??120)?1?P[(??120)?(??120)]?1?P(??120)?P(??120)?P(??120,??120)?1?F(120?0,?)?F(?,120?0)?F(120?0,120?0) ?1?(1?e?1.2)?(1?e?1.2)?(1?2e?1.2?e?2.4)?e?2.4?0.093.31 设

p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使

p(x,y)?p1(x)p2(y)?h(x,y)

成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？

解：若

p(x,y)为二维分布的密度函数，则

p(x,y)?0,????????p(x,y)dxdy?1

所以条件

(1)h(x,y)?p1(x)p2(y);(2)????????h(x,y)dxdy?0得到满足。

反之，若条件（1），（2）满足，则

p(x,y)?0,????????p(x,y)dxdy?1

p(x,y)为二维分布的密度函数。

因此，为使

p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）

。 3.32 设二维随机变数(?,?)具有下列密度函数，求边际分布。

?2e?y?1（1）p(x,y)???x3x?1,y?1

??0其它 30

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库魏宗舒版《概率论与数理统计教程二》课后习题解答（广东数学自考(6)在线全文阅读。