魏宗舒版《概率论与数理统计教程二》课后习题解答（广东数学自考(3)

?0(3) ?1??2?11?1???2?3?2?n??2?n???1222n? ? (4)?1111?1?1?1????????????????2?2???2???2?3?2?3????????解 （1）是

（2）0.7?0.1?0.1?1，所以它不是随机变量的分布列。

111?1?1?1?1?3（3）???????????????,所以它不是随机变量的分布列。

22?3?2?3?2?3?4??1??1?（4）???0,n为自然数，且???1，所以它是随机变量的分布列。 ??2?n?1?2?2nnn2.2 设随机变量

?的分布列为：P(??k)?k,k?1,2,3,4,5，求(1)P(??1或??2); 15(2P(15???)) ； (3) P(1???2)。 22121解 (1) P(??1或??2)???;

15155151(2) P(???)?P(??1)?P(??2)?;

2251(3) P(1???2)?P(??1)?P(??2)?.

5?2?2.3 解 设随机变量?的分布列为P(??i)?C???,i?1,2,3。求C的值。 ?3?解

i?2?2?2?2?3?，所以CC?????????1?3???3?3????27。 382.4 随机变量

?只取正整数N，且P(??N)与N2成反比，求?的分布列。

2C?6，其中常数C待定。由于，所以C??C??1?26?2N?1N?C解 根据题意知P(??N)?N2为P(?，即

?的分布列

?N)?6?2N2，N取正整数。

2.5 一个口袋中装有

m个白球、n?m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了?个

白球，求

?的分布列。

?k”表示前k次取出白球，第k?1次取出黑球，则?的分布列为：

解 设“?P(??k)?m(m?1)?(m?k?1)(n?m),k?0,1,?,m.

n(n?1)?(n?k)2.6 设某批电子管的合格品率为的分布列。

31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第?次为首次测到合格品，求?44 11

?1?解 P(??k)????4?k?13,k?1,2,?. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以布列。

?表示取出球的取大号码，求?的分

?k?1???2???解 P(??k)??,k?3,4,5. ?5???3????2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为

p(0?p?1)，设?为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，

求

?的分布列。

解P(??k)?qk?1p?pk?1q,k?2,3,?，其中q?1?p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设

?，?表示第二名队员的投篮次数，则

P(??k)?0.6k?10.4k?10.4+0.6k0.4k?10.6?0.76?0.24k?1,k?1,2,?； P(??k)?0.6k0.4k?10.6?0.6k0.4k0.4?0.76?0.6k0.4k?1,k?1,2,?。

2.10 设随机变量

?服从普哇松分布，且P(??1)?P(??2)，求P(??4)。

解P(??k)??kk!e(??0)k?0,1,2,?。由于?e??????22e??,得?1?2,?2?0（不合要

24?22?2求）。所以P(??4)?e?e。

4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设

?为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(??x)?0.999。查普哇松分布的数值表，得

ttx?16。

2.12 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设

?为时间t内通过交叉路口的汽车数，则

(?t)k??t P(??k)?e(??0),k?0,1,2,?

k!

12

t?1时，P(??0)?e???0.2，所以??ln5；t?2时，?t?2ln5，因而

P(??1)?1?P(??0)?P(??1)?(24?ln25)/25?0.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率

k500?kp?15002，因而，至少出现三个错误的概率为

k500?k?500??1??499? ???k???500??500????k?3???500?500??1??499??1????k???500??500????k?0???

利用普哇松定理求近似值，取

??np?500?1?1，于是上式右端等于 500151??e?1?1??0.080301

2ek?0k!2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装100?x个产品，其中有k个次品，则要求

x2x,使

?100?x?k100?x?k? 0.9???，

?k?0.030.97k?0??3k?3e，查普哇松分布利用普哇松分布定理求近似值，取??(100?x)?0.03?3，于是上式相当于0.9??k?0k!x数值表，得

x?5。

2.15 设二维随机变量(?,?)的联合分布列为：

?npm(1?p)n?mm!(n?m!)e??(??0,0?p?1) m?0,1,?,nP(??n,??m)?求边际分布列。

n?0,1,2,?

解 P(??n)??P(??n,??m)?m?0n?ne??n!m?0?m!(n?m)!pnn!m(1?p)n?m

??ne??n!n?0,1,2,?

pme??P(??m)?P(??n,??m)?m!n?0??n?m?m!(n?m)!p?n!m(1?p)n?m

(?p)me??p?m!m?0,1,2,?。

2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为

?、?、

?

，求(?,?,?)的联合分布列与各自的边际分布列。

13

解 P(??m,??n,??k)?4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k?0,1,2,3,4m?n?k?4.

m!n!k!?4?m4?m ，

m?0,1,2,3,4； P(??m)???m??0.50.5???4?n4?nP(??n)???n??0.30.7 ，n?0,1,2,3,4；

???4?k4?kP(??k)???k??0.20.8 ，k?0,1,2,3,4。

??2.18 抛掷三次均匀的硬币，以的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量

以?表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(?,?)?表示出现正面的次数，

?与?独立，且P(??1)?P(??1)?p?0，

?1若???为偶数，问

???0若???为奇数又P(??0)?P(??0)?1?p?0，定义?p取什么值时?与?独立？

解P(??1)?P(??0)P(??0)?P(??1)P(??1)=(1?p)2?p2

P(??0)?P(??0)P(??1)?P(??0)P(??1)?2p(1?p)

而P(??1,??1)?P(??1,??1)?p2，由P(??1,??1)?P(??1)P(??1)得p?1

2 2.22 设随机变量但不相互独立。

证明P(?与?独立，且P(???1)?P(???1)?1，定义????21 2，证明

?,?,?两两独立，

??1)?P(??1)P(??1)?P(???1)P(???1)?P(???1)?P(??1)P(???1)?P(???1)P(??1)?因为P(1 21?P(??1)P??1) 41P(??1,???1)?P(??1,???1)?P(??1)P???1)

41P(???1,??1)?P(???1,???1)?P(???1)P(??1)

41P(???1,???1)?P(???1,??1)?P(???1)P(???1)

4??1,??1)?P(??1,??1)?所以

?,?相互独立。同理?与?相互独立。

但是P(??1,??1,??1)?P(??1)P(??1)P(??1)，因而?,?,?不相互独立。

?与

2.23设随机变量

?独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明

???不服从均匀分（即不可能有

14

P(????k)?证明 设P(1） ,k?2,3,?,12。

11??k)?pk,P(??k)?qk,k?1,2,?,6。

若P(1,k?2,3,?,12，则 111P(????2)?p1q1? (1)

111P(????7)?p1q6?p2q5???p6q1? (2)

111P(????12)?p6q6? (3)

11????k)?将（2）式减去（1）式，得：(p6与（3）式矛盾。

?p1)q1?0，于是p6?p1。同理q6?q1。因此p6q6?p1q1??2121，112.24 已知随机变量

???0的分布列为?1???4??1??4???，求

????2与??cos?23的分布列。

解

1?12?1，P(??2?)?，P(??2?)?； 43234111?的分布列为P(???1)?，P(??0)?，P(??1)?。

424?分布列为P(??2)?2.25 已知离散型随机变量

?的分布列为?1??2?101111?6515?53?211?，求???的分布列。

?30?17111 , P(??1)? , P(??4)? , P(??9)? 530530?01??013??2?，且?与?相互独立，求2.26 设离散型随机变量?与?的分布列为?：?131? ， ? ：1?????33??288?解P(??0)??????的分布列。

解 ?1?0??61112421431244?1? ?12?2.27 设独立随机变量

?与?分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求???的分布列。

解 设

，?为n2重贝努里试验中事件A发?为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p）

，而?与?相互独立，所以???为n1?n2重贝努里试验中事件A发生的次?p）

生的次数（在每次试验中P(A)数，因而

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