魏宗舒版《概率论与数理统计教程二》课后习题解答（广东数学自考(5)

rP(?1??2????r?n)?)??k?(?q?pki?1?n?1??rn?rk1???kr?ni?1?r?1???qp。

i?1,,2,?i?1?,r从而P(?qrpn?r11?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n)??。 ?n?1???rn?r?n?1?r?1???qp????r?1???

第三章

连续型随机变量

3.1 设随机变数

?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：

（1）P(??a)；

（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)；

（3）P(??a)=1-F(a)；

（4）P(??a)?1?F(a?0)。

3.2 函数F(x)?1???x?1???x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 （1）

（2）0?x??，在其它场合适当定义； （3）-??x?0，在其它场合适当定义。

解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；

（2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；

（3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义

F~(x)???F(x)???x?0

?1x?0则F~(x)可以是某一随机变量的分布函数。

3.3

函数sinx是不是某个随机变数

?的分布密度？如果?的取值范围为

（1）[0,?2]；（2）[0,?]；（3）[0,32?]。

21

解：（1）当x?[0,?2?]时，sinx?0且?2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度；

0 （2）因为

?sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；

0x （3）当

3x?[?,?]时，sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。

23.4 设随机变数

?具有对称的分布密度函数

p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的a?0,有（1）

F(?a)?1?F(a)? （2）P（

1?2?a0p(x)dx；

??a)?2F(a)?1； ??a)?2?1?F(a)?。

F(?a)??p(x)dx?1??p(x)dx

???a?a? （3）P( 证：（1）

=

1????ap(?x)dx?1??p(x)dx

??0??a =

1?F(a)?1??p(x)dx

??a01ap(x)dx???p(x)dx；

20aa?a0 （2）

P(??a??p(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知

1-F(a)?1a?p(x)dx 2?0 故上式右端=2F(a)?1；

（3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。

F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明

F(x)?aF1(x)?bF2(x)

3.5 设F1(x)与

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与

F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，F2(x1)?F2(x2)，于是 F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)

又

x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0

x???x??limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1

x?? 22

F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)

所以，F(x)也是分布函数。

取a?b?1，又令 2?0x?0F1(x)???1x?0x?0?0?F2(x)??x0?x?1

?1x?1?这时

?0?1?xF(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。

3.6 设随机变数

?的分布函数为

?1?(1?x)e?xF(x)???0x?0x?0

求相应的密度函数，并求P(??1)。

解：

d[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 dx?xe?xp(x)???0x?0x?0

P(??1)?F(1)?1?3.7 设随机变数

2。 e?的分布函数为

?0?F(x)??Ax2?1?x?00?x?1

x?1求常数

A及密度函数。

?F(1)，所以A?1，密度函数为

?2x0?x?1p(x)??

其它?0解：因为F(1?0) 23

3.8 随机变数

?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。

解：因为

limF(x)?A?B(?????2)?0 x xlim???F(x)?A?B?2?1

所以

A?12,B?1?

因而

F(x)?12?1?arctgx,p(x)?F?(x)?1?(1?x2)。 3.9 已知随机变数

?的分布函数为

?x0?x?1p(x)???2?x1?x?2

??0其它（1）

求相应的分布函数F(x)；

（2）

求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。

??0x?0xydy?1x20?x?1F(x)??解：???02???10ydy??x1(2?y)dy?2x?1 x2?11?x?2?2?1x?2P(??0.5)?F(0.5)?18P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245 P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.663.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。

（1）

p(x)?Ae?x；

?（2）p(x)?????Acosx?2?x?2

??0其它 24

（3）

?Ax2?p(x)??Ax?0?1?x?22?x?3 其它?0解：（1）

?????Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1所以A??1； 21; 2? （2）

2??2Acosxdx?2A?2cosxdx?2A?1，所以A=

0(3)

?21Ax2dx??Axdx?28296。 A?1,所以A?2963.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求解：当0???oP的分布函数。

x?R时

43?xx3F(x)P(??x)??()3

43R?R3所以

0??xF(x)??()3?R?13.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以

x?00?x?R x?R，它具有分布密度为 ?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度）

?12x(1?x)20?x?1p(x)??

0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？

解：

P(??0.8)??12x(1?x)2dx?0.0272

0.81

P(??0.9)??12x(1?x)2dx?0.0037

0.91因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14 设随机变数

?服从（0，5）上的均匀分布，求方程

4x2?4?x???2?0

有实根的概率。 解：当且仅当

(4?)2?16(??2)?0 （1）

25

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