2011届高考数学难题、精题考前训练一(7)

?1?2k2?0?22???16k?16(1?2k)?0?4k ??x?x??01221?2k??4?0?x1x2??21?2k??2k???2??2??k?1 ?k?0?2??1?2k?0 ??1?k??22 ……11分

?? ?AP??AQ，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2

?(1??)x2?4k1?2k16k22，?x2???4k2241?2k22

?(1??)2???4(1?2k)2222k?1?2?22k?1(1??)2

2 ??1?k??，?0?2k?1?1，?2??4

?(1??)2?4????2??1?0

2??的取值范围是（0，1） ……13分

2．（本小题满分13分）

(x?0)?0已知函数f(x)???n[x?(n?1)]?f(n?1)(n?1?x?n，n?N*)，

数列{an}满足an?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式；

（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S(a)(a?0)，求

S(n)?S(n?1)(n?N*)；

（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式

an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足

条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出这个极限值.

n??解：（I）?n?N*

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?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n

?f(1)?f(0)?1 ……1分

f(2)?f(1)?2f(3)?f(2)?3

……

f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n??f(0)?0n(n?1)2

?f(n)?n(n?1) 2(n?N*)

?an?n(n?1)2 ……3分

（II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1

?S(n)?S(n?1)?f(n?1)?f(n)2?1?an?1?an22

1n(n?1)n(n?1)n ?[ ?]?2222 ……6分

（III）设满足条件的正整数N存在，则

n(n?1)2?1005?n22?n2?1005?n?2010

又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010

……9分

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（IV）设bn?1an，即bn?2n(n?1)12)?(12??2(131n?131n?1?14)

1n1n?11n?1 则b1?b2???bn?2[(1?)?()???(?1)]?2(1?)

显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?n??n??n?1]?2 ……10分

注：bn?存在.

can（c为非零常数），bn?()n?1，bn?qn?1(0?|q|?1)等都能使lim(b1?b2???bn)2n??12an2an19. （本小题满分14分） 设双曲线

ya22?x23?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.

（I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.若存在，求

出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c2?4a2 ?c?a?3，?a?1，c?2

x222 ?双曲线方程为y?23?1，渐近线方程为y??33x 4分

（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M?x，y?

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?2|AB|?5|F1F2|?|AB|??52|F1F2|?252?2c?102(x1?x2)?(y1?y2)33x1，y2??3333?10x2，2x?x1?x2，2y?y1?y233(x1?x2)

又y1?

?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)?3??22?10 ?3(2y)?213(2x)?100，即x275?3y225?1

则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

???OP·OQ?01033的椭圆.（9分）

?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k22

?(x1?x2)?1??0(i)?x1x2?y?k(x?1)?2222由?得(3k?1)x?6kx?3k?3?0x2y??1? 3?则x1?x2?6k3k22?1，x1x2?3k3k22?3?1(ii) 由（i）（ii）得k2?3?0

∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 3. （本小题满分13分）

已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常

* 14分

数，且m??1.

（I）求证数列?an?是等比数列；

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（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?13a1，bn?f(bn?1)

*(n?2，n?N)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?

n??n??…?bn?1bn)成立？

解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）

(1)

由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N*都成立

?m为常数，且m??1 ?an?1an?mm?15分

即?an?为等比数列 （II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1

?a1?1，从而b1?13mm?1(n?2，n?N)1bn?1* 由（I）知q?f(m)??bn?f(bn?1)?1bn1bn?1

bn?1bn?1?11bn??1?，即??1?1 ???bn?1bn??为等差数列??3?(n?1)?n?2，bn?n?1

1n?2(n?N)*9分?m? ?an????m?1?

n?1mm?limbn(lgan)?lim·lg?lgn??n??n?2m?1m?1 lim3(b1b2?b2b3?…?bn?1bn)n??11??1111?lim3?????…????1n???3445n?1n?2?

由题意知lgmm?1?1，?mm?1?10，?m??109 13分

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