②若|AB| ?3, 由①得
4(m?1)m?46622?3,∴m2?8.
∴点N的坐标为(33, ?), 射线ON方程为: y??22x (x?0),
?23?2x??x (x?0)236?y???3由? 解得 ∴点E的坐标为(, ?), 2?336?x2?4y2?4?y????3?∴OE?2ON.
综上, OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.………………(12分) 8.(本小题满分14分)已知函数f(x)?1x4?211(1) 试证函数f(x)的图象关于点(, )对称;
24n(2) 若数列{an}的通项公式为an?f() (m?N?, n?1, 2, ?,m), 求数列{an}的前m项和
m(x?R).
Sm;
(3) 设数列{bn}满足: b1?13, bn?1?b2?bn. 设Tn?n1b1?1?1b2?1???1bn?1.
若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n, Sn?Tn恒成立, 试求m的最大值.
解: (1)设点P0(x0, y0)是函数f(x)的图象上任意一点, 其关于点(, )的对称点为P(x, y).
2411?x??由??y???x02?y02?x?1?x0,?2 得? 11?y??y0.?2?4?1所以, 点P的坐标为P(1?x0, 12?y0).………………(2分)
14x0由点P0(x0, y0)在函数f(x)的图象上, 得y0?∵f(1?x0)?141?x0?2.
?2?4x0x04?2?44x0?42(4x0x0?2),
12?y0?12?14x0?2?2(4x0?2), ∴点P(1?x0, 12?y0)在函数f(x)的图象上.
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∴函数f(x)的图象关于点(, )对称. ………………(4分)
2411(2)由(1)可知, f(x)?f(1?x)?即f(km)?f(m?km)?1212, 所以f(12km)?f(1?km)?12 (1?k?m?1),
, ?ak?am?k?,………………(6分)
由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ……………… ① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ………………② 由①+②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?11212?2am?m?12?2?16?m2?16,
(3m?1).………………(8分) 13,bn?1?bn?bn?bn(bn?1), ………………③
2(3) ∵b1?∴对任意的n?N?, bn?0. ………………④ 由③、④, 得
1bn?11b2?1bn(bn?1)1b21b3?1bn?1bn?11bn,即
1bn?11b1?1bn1bn?1?1bn?1.
∴Tn?(1b1?)?(?)???(?1bn?1)???3?1bn?1.……………(10分)
∵bn?1?bn?b2?0, ?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. n∴Tn关于n递增. 当n?2, 且n?N?时, Tn?T2. ∵b1?13,b2?1144452(?1)?, b3?(?1)?, 3399981∴Tn?T2?3?755211b1?7552.………………(12分)
755223839439∴Sm?,即
12(3m?1)?2,∴m?2?6, ∴m的最大值为6. ……………(14分)
9.(12分)E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点,l是椭圆的右准线,点P?l,过点E的直线交椭圆于A、B两点.
(1) 当AE?AF时,求?AEF的面积; (2) 当AB?3时,求AF?BF的大小; (3) 求?EPF的最大值.
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解:(1)??m?n?4?m?n?822?S?AEF?12mn?2
(2)因??AE?AF?4???BE?BF?4?AB?AF?BF?8,
则AF?BF?5.
(1) 设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)
32t2t32?t2?(?)?(1?2)?22tt?62?22t?6t?1?33,
当t?6时,tan?EPF?33??EPF?30
2?10.(14分)已知数列?an?中,a1?anS2n13,当n?2时,其前n项和Sn满足an?2Sn2Sn?1,
(2) 求Sn的表达式及lim的值;
n??(3) 求数列?an?的通项公式; (4) 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3,求证:当n?N且n?2时,an?bn.
解:(1)an?Sn?Sn?1?2Sn22Sn?1?Sn?1?Sn?2SnSn?1?1Sn?1Sn?1?2(n?2)
?1?1所以??是等差数列.则Sn?.
2n?1?Sn?limanS2nn???lim22Sn?1n???22limSn?1n????2.
12n?112n?1?24n?12(2)当n?2时,an?Sn?Sn?1?1??n?1???3综上,an??.
2??n?2?2?1?4n???,
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(3)令a?12n?1,b?112n?11,当n?2时,有0?b?a?12n?1113 (1)
法1:等价于求证
2n?1??2n?1??13323???2n?1?33.
当n?2时,0?12n?1,令f?x??x?x,0?x?21332,
2f??x??2x?3x?2x(1?x)?2x(1?32?13)?2x(1?)?0,
则f?x?在(0,13]递增.
又0?12n?113?12n?1?13,
所以g(2n?1)?g(132n?1),即an?bn.
法(2)an?bn?12n?1?12n?1?(1(2n?1)3?1(2n?1)3)?b?a?(b?a)
2233?(a?b)(a?b?ab?a?b) (2) ?(a?b)[(a?222ab2?a)?(b?2ab2?b)] ?(a?b)a[a(?b2?1?)bb?(b2a2? 1 ) ](3)
a2因b?a2?1?a?b2?1?3a2?1?323?1?32?1?0,所以a(a??1)?b(b??1)?0
由(1)(3)(4)知an?bn.
法3:令g?b??a?b?ab?a?b,则g??b??2b?a?1?0?b?221?a2
所以g?b??max?g?0?,g?a???max?a2?a,3a2?2a?
13231349因0?a?,则a?a?a?a?1??0,3a?2a?3a(a?22)?3a(?)?0
所以g?b??a?b?ab?a?b?0 (5)
22由(1)(2)(5)知an?bn
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11. (本小题满分14分)
设双曲线
xa22?yb22=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A,
P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
???(1) 证明:无论P点在什么位置,总有|OP| = |OQ·OR| ( O为坐标原点);
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围; 解:(1) 设OP:y = k x, 又条件可设AR: y =
???2
?????ba(x – a ),
abak?b2 解得:OR= (
??????abak?b,
?kabak?bab), 同理可得OQ= (
?kabkab2??,
kabak?b2),
∴|OQ·OR| =|
????abak?bak?b+
ak?bak?b| =
ab(1?k)|ak22?b|2. 4分
设OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m =
2
abb22222?ak, n =
2
kabb222222?ak2222,
???∴ |OP| = :m + n =
222
abb2?ak+
kabb222222?ak=
ab(1?k)b2222?ak22 ,
∵点P在双曲线上,∴b2 – a2k2 > 0 .
??? ∴无论P点在什么位置,总有|OP| = |OQ·OR| . 4分 (2)由条件得:
ab(1?k)b4b222222
??????ak22= 4ab, 2分
即k =
2
?ab2ab?4a> 0 , ∴ 4b > a, 得e >
174 2分
2011届高考数学难题、精题考前训练二
1. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数,f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.
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