2011届高考数学难题、精题考前训练一(6)

（2）取x?a?bb，?a?1,b?0,?1?xaxa?bb?1，

一方面，由（1）知f(x)??f(a?bb)?f(1)?0

?lnx在[1,??)上是增函数，

b?lna?b?0 a?bba?ba?b1即ln……………………………………8分 ?ba?b?1?a?b另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)

G(x)?1?'1x?x?1x?0(?x?1)

∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0 ∴x?lnx 即综上所述，

1a?b?lna?bba?bb?ln?a?bbb

a?b.………………………………………………14分

8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90，

?yAB、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，

的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、

BODCx!ABCD

两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MP??PN，问在x轴上是否存在定点G，使

?????????????BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G????????的坐标；若不存在，请说明理由．

yA解：(1) 设双曲线E的方程为

xa22?yb22?1(a?0,b?0)，

则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．

由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a．

BODCx第 26 页 共 69 页

?|AB|2?|AC|2?16a2,∴??|AB|?|AC|?12?4a, （3分）

??|AB|?|AC|?2a.解之得a?1，∴c?2,b?3． 2∴双曲线E的方程为x2?y3?1． （5分）

(2) 设在?????????????x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)．

设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． 由????????MP??PN，得y1??y2?0． 即???y1y ① （6分）

2∵????BC?(4,0)，

??????????GM?GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)，

∴?????????????BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)． 即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② （8分）

把①代入②，得

2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0

③ （9分）

2把x?m?ky代入x2?y3?1并整理得

(3k2?1)y2?6kmy?3(m2?1)?0

其中3k2?1?0且??0，即k2?13且3k2?m2?1． ym2?1)1?y6km2??3k2?1,yy3(1?23k2?1．

代入③，得

6k(m2?1))3k2?1?6km(m?t3k2?1?0，

化简得 kmt?k． 当t?1m时，上式恒成立．

因此，在1?????????????x轴上存在定点G(m,0)，使BC?(GM??GN)．第 27 页 共 69 页

yBGCOPxNM

（10分）

（12分）

9．(本小题满分14分)

已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1的常数），记f(n)?1?Cna1?Cna2???Cnan2Snn12n．

(1) 求an；

(2) 试比较f(n?1)与

p?12pf(n)的大小（n?N*）；

?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)?（n?N*）． ?，??解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，

①

②

∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得

(1?p)an?1??pan?1?pan，

即an?1?pan．

（3分）

在①中令n?1，可得a1?p．

∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn． (2) 由(1)可得Sn?12 （4分）

p(1?p)1?pnn?p(p?1)p?11n．

22nnnn1?Cna1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．

1?Cna1?Cna2???Cnan2Snp?1p?(p?1)2n?1n?112n∴f(n)?n?p?1p?(p?1)nnn2(p?1)， （5分）

f(n?1)?(pn?1n?1?1)n?1．

，且p?1，

而

p?12pf(n)?p?1p?(p?1)2(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?p?12pf(n)，（n?N*）．

p?12p

f(n) （8分）

(3) 由(2)知 f(1)?p?12p，f(n?1)?，（n?N*）．

第 28 页 共 69 页

∴当n…2时，f(n)?p?12pf(n?1)?(p?12p)f(n?2)???(22p?12p2n?1)n?1f(1)?(p?12p)n．

∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?p?1?p?1??p?1?????????2p?2p??2p?2n?1

?p?1?p?1???1???p?1?2p?????， ?? （10分）

（当且仅当n?1时取等号）．

另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时，

k2n?k?p?1?(p?1)(p?1)f(k)?f(2n?k)???kk? 2n?k2n?kp?2(p?1)2(p?1)?…p?1p?2 ?2n?k2n?kkk2(p?1)2(p?1)nk(p?1)k(p?1)2n?kp?12(p?1)??np21(p?1)(p2n?k?1)

p?12(p?1)??np2n1p2n?p?pk2n?k?1．

∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2． ∴f(k)?f(2n?k)…2n?1p?1p?2(p?1)nnn2(p?1)?2f(n)2n?1，（当且仅当k?n时取等号）．（13分）

．（当且仅当n?1时取等号）．

∴?f(k)?k?1122n?1?[f(k)?k?1f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?1?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1?（n?N*）．（14分） ?，??

2011届高考数学难题、精题考前训练三

1．（本小题满分13分） 如图，已知双曲线C：

xa22?yb22?1(a?0，b?0)的右准线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

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?? （I）求证：OM?MF；

? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?62，求双曲线C的方程；

（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、

??Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明.

解：（I）?右准线l1：x?2a2c，渐近线l2：y?bax

2?aab ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，)

ccccaab22222?aabbab MF?(c?，?)?(，?)

cccc2222??abab ?OM?MF???022cc???OM?MF

……3分

（II）?e?62，?ba?e?1?222，?a2?2b

2422222?babb(b?a)?|MF|?1，?2??1，??122 ccc?b2?1，a2?1?双曲线C的方程为：

x22?y2?1

……7分 ……8分

（III）由题意可得0???1

证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2) ?x2?2y2?222 由?得(1?2k)x?4kx?4?0

?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

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