. 解法一：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，
?D为AC中点，?PD//B1C.
又?PD?平面A1BD，?B1C//平面A1BD
（2）?正三棱住ABC?A1B1C1，? AA1?底面ABC。 又?BD?AC?A1D?BD
??A1DA就是二面角A1?BD?A的平面角。
MA1C1B1?AA1=3，AD=??A1DA=
12AC=1?tan ?A1DA=
A1AADPCD?3
?3, 即二面角A1?BD?A的大小是
?3
AB（3）由（2）作AM?A1D，M为垂足。
?BD?AC，平面A1ACC?BD?平面A1ACC1?平面ABC，平面A1ACC1?平面ABC=AC
1，?AM?平面A1ACC1，?BD?AM
?A1D?BD = D?AM?平面A1DB，连接MP，则?APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角。 ?AA1=3，AD=1，?在Rt?AA1D中，?A1DA=
?3，
3?AM?1?sin60??32，AP?12AB1?72,?sin?APM?AMAP?272?217.
?直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为
217
解法二：（1）同解法一（2）如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，3），B（0，3，0），B1（0，3，3）
z，A1D=（-1，0，-3） ?A1B=（-1，3，-3）
设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z）
C1A1B1第 11 页 共 69 页
DAxCBy则n?A1B??x?n?A1D??x?则有???x??3zy?03y?3z?0
3z?0
3，0，1）
，得n=（?由题意，知AA1=（0，0，3）是平面ABD的一个法向量。 设n与AA1所成角为?，则cos???3n?AAn?AA11?12，????3
?二面角A1?BD?A的大小是
3，0，1）则cos??（3）由已知，得AB1=（-1，3，3），n=（?AB1?nAB1?217
n?直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为
217.
5．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2
? 抛物线方程为: y?4x………………………………………………（1分）
2由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分）
2对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1??2??1?1??4?2?22 22? a?1?? a?1?222222??2?3?22? b?a?c?2?22? 椭圆方程为： x2………………………………（4分）
?y23?222?22?1第 12 页 共 69 页
对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2
? a??22?1? a??3?22? b??c??a??22?2? 双曲线方程为： x2222………………………………（6分）
?y23?2222?2?1（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H 令A?x1,y1?, ? C?? DC? CH?12AP?x1?322?x1?3y1,2?212??………………………………………………（7分） ?22?x1?3??y1?a?122
?x?1?2a??3? DH2?DC?CH1212??x?3??y2????x?2a??3?11??4?14? ??a-2?x1?a?3a2当a?2时,DH2??4?6?2为定值;…………（12分）
? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?26．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点An?an,an?1?在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点
Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.
（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；
??an, ?n为奇数???bn, ?n为偶数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an?1?1??1??1?1?1??1???????b1??b2??bn???ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围.
解：（Ⅰ）将点An?an,an?1?代入y2?x?1中得
an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1…………………………………………（4分）
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（Ⅱ）f?n?????n?5, ?n为奇数???2n?1, ?n为偶数?………………………………（5分）
当k为偶数时，k?27为奇数， ? f?k?27??4f?k?? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4当k为奇数时，k?27为偶数，? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。352……………………（8分）
?舍去?（Ⅲ）由
an?1?1??1??1???1???1????1?bbb1??2?n???1?ann?2?an?0
即a??1??1??1???1???1????1?b1??b2??bn?2n?3??1??1??1???1???1????1?b1??b2??bn?2n?3?1?1??1??1??1?1?1??1?1?????????b1??b2??bn??bn?1?2n?5?1?2n?3?1???1???bn?1?2n?5??12n?32n?4??2n?52n?32n?42n?5?2n?3
记f?n??? f?n?1??f?n?1?f?n?2? ?4n?16n?164n?16n?152? f?n?1??f?n?, 即f?n?递增，? f?n?min?f?1??? 0?a?451515?43?4515,………………………………（14分）
7.（本小题满分12分）将圆O: x?y?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C. (1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E.
求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.
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解: (1)设点P(x?, y?), 点M的坐标为(x, y),由题意可知?2?x??x,?y??2y,………………(2分)
又x??y??4,∴x?4y?4?2222x4?y2?1.
所以, 点M的轨迹C的方程为
x24?y2?1.………………(4分)
(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0), ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: x?my?3,
??x?my?3由?消去x,
22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………①
3mm?42∴y0??,………………(6分)
∴x0?my0?3??3m22m?4?3m?43m?422?43m?42,
∴点N的坐标为(43m?42, ?3mm?42).………………(8分)
①若OE?2ON, 坐标为, 则点E的为(48(m283m?422, ?23mm?42), 由点E在曲线C上,
得
?4)2?12m(m222?4)?1, 即m?4m?32?0, ∴m42?8 (m2??4舍去).
由方程①得|y1?y2|?12m?4m?16m?42222?4m?1m?422?1,
又|x1?x2| ? |my1?my2| ? |m(y1?y2)|,
∴|AB| ? m?1|y1?y2| ?3.………………(10分)
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