2011届高考数学难题、精题考前训练一(5)

(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,

∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )– ( n + 1 + a)? n – ( n + a). 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n

+ a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n ∵( n + a ) > n ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分

2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x – 1 是否满足题设条件？

?1?x,x?[?1,0](2) 判断函数g(x)=?，是否满足题设条件？

1?x,x?[0,1]?2

n – 1 n

n

n

n

– ( n + a)

n – 1

] = ( n + 1 )[n – n( n + a)

n n – 1

], 2分

解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u =

34?[–1，1]，v =

12?[–1，1],

54则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

| u – v | > | u – v |，

10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 3. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件.

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0

3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1,

∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴ca ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

1x?122

xx?1(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ).

,

1x2?11x1?1x1?x2(x2?1)(x1?1)法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = .

∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,

∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =

1(x?1)2> 0 得x ? –1,

∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?

44|a| > 0 ,

∴f (| c | ) ? f (

4|a|) =

|a|4|a||a|=

4|a|?44

?1f ( | a | ) + f ( | c | ) =

|a|?1+

|a|?4>

|a||a|?4+

4|a|?4=1.

即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

432设定义在R上的函数f(x)?a0x?a1x?a2x?a3x?a4（其中ai∈R，i=0,1,2,3,4），当

x= －1时，f (x)取得极大值（1） 求f (x)的表达式；

23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．

（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间

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??2,?2?上； ?2?123n（3） 若xn?解：（1）f(x)?13n,yn?2(1?3)3nn(n?N+)，求证：f(xn)?f(yn)?43.

x?x.…………………………5分

（2）?0,0?,?2,?????2?2?或?2,.…………10分 ?0,0?,??????3?3??43.……15分

（3）用导数求最值，可证得f(xn)?f(yn)?f(?1)?f(1)?5．（本小题满分13分）

设M是椭圆C:x212?y24?1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭

圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),

则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),……1分

2?x12y1??1,????(1)??124 ?2………………………………………………………3分 2?x2?y2?1.????(2)??124 由（1）－（2）可得kMN?kQN??13.………………………………6分

又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??x1y1,所以kQN?y13x1.

直线QN的方程为y?1212y13x1(x?x1)?y1，又直线PT的方程为y??x1y1x.……10分

从而得x?x1,y??y1.所以x1?2x,y1??2y.

代入（1）可得

x23?y?1(xy?0),此即为所求的轨迹方程.………………13分

26．（本小题满分12分）

2过抛物线x?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0.

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（1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)2?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设A(x1,由x2?4y,得：y'??kPA?x12,kPB?x22x2x142),B(x2,x242),(x1?x2)

?PA?PB?0,?PA?PB,?x1x2??4………………………………3分

直线PA的方程是：y?x142?x12(x?x1)即y?2x1x2?x142 ①

同理，直线PB的方程是：y?x2x2?x24 ②

x1?x2?x??2(x1,x2?R) 由①②得：?x1x2?y???1,4?∴点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分

x142（2）由（1）得：FA?(x1,x1?x22?1),FB?(x2,x242?1),P(x1?x22,?1)

FP?(,?2),x1x2??4

2222FA?FB?x1x2?(x142?1)(x242?1)??2?x1?x24 …………………………10分

(FP)?2(x1?x2)4?4?x1?x242?2

所以FA?FB?(FP)?0

故存在?=1使得FA?FB??(FP)?0…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PA?PB?0,

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∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA?PB, 设PA的直线方程是y?kx?m(k,m?R,k?0)

?y?kx?m由?2得：x2?4kx?4m?0 ?x?4y22???16k?16m?0即m??k…………………………3分

即直线PA的方程是：y?kx?k2 同理可得直线PB的方程是：y??1kx?1k2

1?y?kx?k2???x?k??R由? 11得：?ky??x?2??y??1?kk?故点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分 （2）由（1）得：A(2k,k),B(?FA?(2k,kFP?(k?1k222kk?1)

,1),P(k?21k,?1)

?1),FB?(?2kk,12,?2)

2FA?FB??4?(k?1)((FP)?(21k2?1)??2?(k?221k2)………………………………10分

1k?k)?4?2?(k?21k2)

故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）

设函数f(x)?1?xax?lnx在[1,??)上是增函数.

（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：解：（1）f(x)??a?1x'1a?b?lna?bb?a?bb.

ax?1ax2?0对x?[1,??)恒成立，

对x?[1,??)恒成立

又

1x?1 ?a?1为所求.…………………………4分

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