2011届高考数学难题、精题考前训练一

2011届高考数学难题、精题考前训练一

（2010北京文数）（16）

已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。 因为a3??6,a6?0

?a1?2d??6 所以? 解得a1??10,d?2

a?5d?0?1所以an??10?(n?1)?2?2n?12 （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为b2?a1?a2?a3??24,b??8

所以?8q??24 即q=3

b1(1?q)1?qn所以{bn}的前n项和公式为Sn?

（2010北京理数）（20）

x,2…，,xn已知集合Sn?{X|X?x(1?4(1?3)

nx?),1i{?0,1…}n,n?1,2对,于,A}?((a1,a2,…)an,)，2B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定义A与B的差为 A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);

A与B之间的距离为d(A,B)??i?1|a1?b1|

（Ⅰ）证明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B); （Ⅱ）证明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P?Sn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为

(P).

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证明：

d（P）≤

mn2(m?1).

证明：（I）设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn 因为ai，bi??0,1?，所以ai?bi??0,1?,(i?1,2,...,n) 从而A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,...,|an?bn|)?Sn

n 又d(A?C,B?C)??||ai?1i?ci|?|bi?ci||

由题意知ai，bi，ci??0,1?(i?1,2,...,n). 当ci?0时，||ai?ci|?|bi?ci||?||ai?bi|;

当ci?1时，||ai?ci|?|bi?ci||?|(1?ai)?(1?bi)|?|ai?bi|

n所以d(A?C,B?C)??|ai?1i?bi|?d(A,B)

(II)设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn d(A,B)?，d(A,C)?l，d(B,C)?h. k 记O?(0,0,...,0)?Sn，由（I）可知 d(A,B)? d(A,C)? d(B,C)?d(A?d(A?d(B?A,?BA,C?A,C?A)?A)?A)?

d(O,?Bd(O,?Ch ?)A ?)Akl 所以|bi?ai|(i?1,2,...,n)中1的个数为k，|ci?ai|(i?1,2,...,n)的1的

个数为l。

设t是使|bi?ai|?|ci?ai|?1成立的i的个数，则h?l?k?2t 由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，

即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。

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（III）d(P)?1C2mA,B?P?d(A,B),其中

?A,B?Pd(A,B)表示P中所有两个元素间距离的总和，

设P种所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m?ti个0

n则

?A,B?Pd(A,B)=?ti(m?ti)

i?1由于ti(m?ti)?m24(i?1,2,...,n)

所以

?A,B?Pd(A,B)?nm42

从而d(P)?1Cm2?A,B?Pd(A,B)?nm4Cm22?mn2(m?1)

（2010四川理数）（21）

已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2

（Ⅰ）求a3，a5；

（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；

（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6

再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分 (2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得

a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8

于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8

即 bn＋1－bn＝8

所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得

an＝

a2n?1?a12*

-(n－1)2.

－2n＋1

那么an＋1－an＝

a2n?1?a2n?128n?22 ＝－2n＋1

＝2n 于是cn＝2nqn－1.

当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)

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当q≠1时，Sn＝2·q＋4·q＋6·q＋……＋2n·q

012n－1

.

两边同乘以q，可得

qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得

(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn

＝2·

1?qn1?q－2nqn

＝2·

1?(n?1)q?nq1?qnnn?1

所以Sn＝2·

nqn?1?(n?1)q?1(q?1)2

?n(n?1)(q?1)?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1…………………………12分

(q?1)2?2?(q?1)?

（2010天津文数）

在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式；

22（Ⅲ）记Tn?a2?32a3?????n2an，证明

32?2n?Tn?（2n?2）.

（I）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，a5?a4?4?12，

a6?a5?6?18。

从而

a6a5?a5a4?32，所以a4，a5，a6成等比数列。

（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*

所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??.?..?4 1* ?2k?k?1?,k?N.

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由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2.

?n2?1n,n为奇数2???1??1n?2所以数列?an?的通项公式为an??2或写为an?，n?N*。 ?24?n,n为偶数??2（III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2， 以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?

n若m?1，则2n??k?2k2ak?2，

若m?2，则

n?k?2k2mak??k?1?2k?a2k2m?1??k?1?2k?1?a2k?12m??k?14k2k22m?1??k?14k?4k?12k?k?1?m?12

?4k2?4k?1 ?2m??????2m?2kk?12kk?1?????k?1?m?1?1?11??2????2?kk?1??

???k?1? ?2m?2?m?1??n21?1??1???2?m?32n2?23?1n.

所以2n??k?2kak?32?1nn，从而?2n??k?2k2ak?2,n?4,6,8,....

（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。

n?k?2k22mak??k?2k2ak??2m?1?a2m?12?4m?32?12m??2m?1?

2m?m?1?

2?4m?122?12?m?1?321n?1?2n?3232?1n?1n所以2n??k?2knak??，从而?2n??k?2k2ak32?2,n?3,5,7,....

综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有

（2010天津理数）（22）

?2n?Tn?2.

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