连续时间系统的复频域分析(7)

（a）直接形式的信号流图 （b）并联形式的信号流图 （c）级联形式的信号流图 （d）混联形式的信号流图

图5.28

例5.27 已知系统的信号流图如图5.29(a)所示。试画出与之对应的模拟图。

解 根据模拟图与信号流图的转换规则，即可画出其模拟图如图5.29(b)所示。于是可求得此系统的传输函数（请读者求之）为

H(s)?

Y(s)5(s?1)?3 2X(s)s?13s?32s?25图5.29

31

5.8.4 信号流图的名词术语

下面以图5.28为例，介绍信号流图中的一些名词术语。 1.节点

表示系统变量（即信号）的点，如图中的点X(s),s2X(s),sX(s),X(s),Y(s)；或者说每一个节点代 表一个变量。该图中共有5个变量，故共有5个节点。 2. 支路

连接两个节点之间的有向线段（或线条）称为支路。每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信 号的传输（或流动）方向，支路旁标注的H(s)代表支路（子系统）的传输函数。例如图中的1,s?1,?a1,?a0, b2,b1,b0均为相应支路的传输函数。

3．激励节点

代表系统激励信号的节点，如图中的节点X?s?。激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出 去的支路，而没有流入它的支路。激励节点也称源节点或源点。

4．响应节点

代表所求响应变量的节点，如图中的节点Y?s?。有时为了把响应节点更突出地显示出来，也可从相应 节点上再增加引出一条传输函数为1的有向支路，如图5.28（a）中最右边的虚线条所示。

5．混合节点

若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样的节点即为混合节点。混合节点除了代表变量外，还对输入它的信号有求和的功能，它代表的变量就是所有输入信号的和，此和信号就是它的输出信号。

6．通路

从任一节点出发，沿支路箭头方向（不能是相反方向）连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。

7．环路

若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。如图5.28（a）中共有两个环路：s2X?s??s?1?sX?s????a1?

?s2X?s?;s2X?s??s?1?sX?s??s?1?X(s)???a0??s2X?s?。环路也称回路。

8．开通路

与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。 9．前向开通路

从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。如图5.28（a）中共有三条前向通路：

X?s??1?s2X?s??b2?Y?s?;X?s??1?s2X?s??s?1?sX?s??b1?Y?s?;X?s??1?s2X(s)?s?1?sX(s)?s?1?X?s??b0?Y?s?。

10．互不接触的环路

没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。在图5.28（a）中不存在互不接触的环路。 11．自环路

只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。 12．环路传输函数

环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。 13．前向开通路的传输函数

前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。

Y?s?的计算公式，称为梅森公式。该公式如下： X?s?Y?s?1??Pk?k （5.77） H?s?? X?s??k从系统的信号流图直接求系统函数H?s??此公式的证明甚繁，此处略去。现从应用角度对此公式予以说明。 式中 ??1?5.8.5 梅森公式（Mason’s Formula）

?L??Liim,nm Ln??LpLqLr?... （5.78）

p,q,r?称为信号流图的特征行列式。式中：

32

Li为第i个环路的传输函数，?Li为所有环路传输函数之和；

iLmLn为两个互不接触环路传输函数的乘积，?LmLn为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；

m,nLpLqLr为三个互不接触环路传输函数的乘积，?LpLqLr为所有三个互不接触环路传输函数乘积之

p,q,r和；

．．．．．．

Pk为由激励节点至所求响应节点的第k条前向开通路所有支路传输函数的乘积；

?k为除去第k条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。求?k的公式仍然是式

（5.78）

例5.28 图5.30(a)所示系统。求系统函数H?s??Y?s?X?s?。 图5.30

解 1.求? ⑴ 求

?Li：该图共有5个环路,其传输函数分别为

iL1?2L2?2?4?8L3?1???1???1 L4?2L5??2???1??2?4

故

?Li?L1?L2?L3?L4?L5?15

i⑵ 求

?LmLn：该图中两两互不接触的环路共有3组：

m,nL1L3?2???1???2 L1L4?2?2?4 L2L4?8?2?16

故

?LmLn?L1L3?L1L4?L2L4?18

m,n

该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有

p?LpLqLr?0；?。,q,r故得

??1??Li??LmLn?im,np?LpLqLr??

,q,r?1-15?18?4

2．求

?Pk?k

k⑴ 求Pk：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为

P1?1?1?1?1

P2?1???1??4?1?1??4

33

P3?1???1????2??1?2

⑵ 求?k：除出P1前向通路中包含的支路和节点后，所剩子图如图5.30（b）所示。该子图共有两个环路，故

?Li?L1?L2?2?2?4?2?8?10

i故 ?1?1??Li?1?10??9

i除去P2，P3前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

?2??3?1

故得

?Pk?k?P1?1?P2?2?P3?3

k ?1???9????4??1?2?1??11

3．求H?s?

H?s??Y?s?X?s??1??P111k?k?4???11???4 k

习题5

5.1求下列函数的拉普拉斯变换。 (1) 1?e?at

(13) te??t?2???t?1? (2) sint?2cost t(3) te?2(14) e?ax??t?t

?a??, (4) e?tsin?2t? 设已知L?x?t???X?s? (5) ?1?2t?e?t

(15) e?atx??t??a??， (6) ?1?cos??t??e??t

设已知L?x?t???X?s?(7) t2?2t (16) tcos3?3t?

(8) 2??t??3e?7t

(17) t2cos?2t?

(9) e??tsinh??t?

(18)

1t?1?e?at? (10) cos2??t? e?3t?e?5t(19) t

(11)

1?e??t????e??t?

(20)

sin?at?t (12) e??t?a?cos??t?

5.2求下列函数的拉普拉斯逆变换。 (1)

1s?1 (2)

42s?3 34

4

s?2s?3?1(4) 2ss?5(3)

(13)

??(5)

3?s?4??s?2?3s(6)

?s?4??s?2?1?1 (7) 2s?11(8) 2

s?3s?21(9)

??sRCs?11?RCs(10)

s?1?RCs?(11) (12)

100?s?50? s2?201s?200?s?3?

(14)

?s?1?3?s?2?A(15) 2

s?K21??(16) (17)

(18)

?s2?3?2

s

(s?a)[(s??)2??2]s 2222(s??)[(s??)??]?s?2??2??1

?RCs?1?e?s(19) 24ss?1?s?(20) ln??

?s?9???4s?5 2s?5s?6

5.3 分别求下列函数的逆变换的初值与终值。 (1)

?s?6? (2) ?s?3? ?s?2??s?5??s?1?2?s?2?1?t?2t3t?t5.4 已知激励信号为x?t??e，零状态响应为y?t??e?e?2e，求此系统的冲激响应h?t?。

5.5 已知系统阶跃响应为g?t??1?e5.6 从单位阶跃函数的变换??t??

10t 011

（c） （d）

题图5.6

t?2t，为使其响应为y?t??1?e2?2t?te?2t，求激励信号x?t?。

1出发，求下列波形函数的拉普拉斯变换 sx?s?x?t?⑴012⑵t1x(t)

01t

（a） （b）

x?t?x?t?1

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