连续时间系统的复频域分析(4)

即

Y?s??bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0ans?an?1snn?15.19 系统方程y???t??3y??t??2y?t??2x??t??6x?t?，x?t????t?，y?0???2，y??0???1。求零状态响应、零输入响应和全响应。

解 对系统方程两边取拉氏变换，得

Yzi?s?。

其中的第一项就是系统的零状态响应yzs?t?的拉氏变换Yzs?s?，第二项是零输入响应的拉氏变换

???a1s?a0X?s???A?s?y???0?ii?i?0n?1ans?an?1snn?1???a1s?a0 （5.46）

s2Y?s??sy?0???y??0???3sY?s??3y?0???2Y?s??2sX?s??6X?s?

整理，得 故

?s2?3s?2Y?s???sy?0???y??0???3y?0?????2s?6?X?s?

?sy?0???y??0???3y?0????Ys??2s?3s?22s?6X(s)

s2?3s?2将已知条件代入，有

Yzi?s??求拉氏反变换，得

sy?0???y??0???3y?0??2s?1?62s?753???? 22s?3s?2s?3s?2?s?1??s?2?s?1s?2yzi?t??5e?t?3e?2t，t?0

2s?62s?61341Yzs?s??2X?s??2????

s?3s?2s?3s?2sss?1s?2其反变换为 因此全响应为

yzs?t??3?4e?t?e?2t??t?

y?t??yzi?t??yzs?t??3?e?t?2e?2t，t?0

由此可以看到，系统全响应的时域微分方程的求解转化为s域下的代数方程求解。

5.5.2 电路的s域模型

在复频域分析电路时，可不必先列写微方程再取拉氏变换，而是根据复频域电路模型，直接写出求响应的变换式（代数方程），然后求解复频域响应并进行拉氏反变换。欲得到任一复杂电路的s域模型，应先从单一元件组成的简单电路的s域模型入手。

1．电阻元件

设在电流iR?t?的作用下，电阻两端的电压为uR?t?，参考方向如图5.5（a）所示。则可得时域中电阻元件的伏安关系为

uR?t??RiR?t? （5.47） UR?s??RIR?s? （5.48） 由式（5.50）可作出电阻元件的s域模型如图5.5（b）所示。

将式（5.49）两边取拉氏变换，并设uR?t??UR?s?，iR?t??IR?s?，得

??

2．电感元件

图5.5 电阻元件的模型

16

设流过电感元的电流为iL?t?，两端电压为uL?t?，参考方向如图5.6（a）所示。其时域伏安关系为 uL?t??L对式（5.51）两边取拉氏变换，有 或

IL?s??diL?t? （5.49） dt UL?s??sLIL?s??LiL0? （5.50）

i?0?1 UL?s??L? （5.51）

sLs??式（5.52）和式（5.53）表明，一个具有初始电流iL?0??的电感元件，其复频域模型为一个复感抗sL与一个大小为LiL?0??的电压源串联，或者是sL与一个大小为

iL?0??的电流源并联，如图5.6所示。 s图5.6 电感元件的模型

3．电容元件

设流过电感元件的电流为iC?t?，两端电压为uC?t?，参考方向如图5.7（a）所示。其时域伏安关系为 uC?t??uC?0???两边取拉氏变换，得

UC?s??或

1tiC?x?dx （5.52） ?0?CuC?0??1?IC?s? （5.53） ssC IC?s??sCUC?s??CuC?0?? （5.54） 式（5.55）和（5.56）表明，一个具有初始电压uC?0??的电容元件，其复频域模型为一个复容抗

一个大小为

uC?0??1的电压源串联，或者是与一个大小为Cuc?0??的电流源并联，如图5.7所示。

sCs1与sC图5.7 电容元件的模型

若把电路中每个元件都用它的s域模型代替，将信号源用其拉氏变换式代替，就可得到电路的s域模型。在电路的s域模型中，电压与电流的关系是代数关系，可应用与电阻电路一样的分析方法与定理列写求解响应的变换式。具体过程见下面的例题。

例5.20 已知is?t??10A，us?t??5sint?V?，画出s域等效电路，并列出网孔方程和节点方程。

17

图5.8 例5.20题图

解 由图5.8（a）可知，当t?0时有

iL?0???is?t??10A

u?01C???2?10?5V根据元件的s域模型画出对应的电路模型，如图5.8（b）所示。

网孔方程：

??I??s??101s???1?8sI1?s????11s??8s?2?3??I2?s??s3I3?s??103?5s????s3I2?s????s??3?5??I3?s???510s2?1?3节点方程

???8s?2?U?s??2U?s??105s?12?s?18s?????2U?1?s??????2?11?1035s2?1s3?5???U2?s???s3?5

例5.21 电路如图5.9（a）所示，已知uC?0???0，激励信号x?t?如图5.9（b）所示，求uC?t?。x(t)

x(t)

图5.9 例5.21题图

解 s域模型如图5.10（a）所示。 激励信号x?t?的微分如下：

x??t????t????t?1??2??t?2?

如图5.10（b）所示。

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x?(t)

(1) (1)

X(s) UC(s) 1 2 (2) 图5.10 电路的S域模型及输入信号的微分

利用拉氏变换的时域微分性质可得

sX?s??1?e?s?2e?2s

其拉氏变换为

X?s??根据图5.10（a），利用分压公式，得

11?e?s?2e?2s s??UC?s??把X?s?代入上式，得

1sX?s? X?s??1?1ss?1UC?s??则其反变换为

11??1?s?2s1?e?s?2e?2s????1?e?2es?s?1??ss?1?

1??11??s1??2s?1?1????????e?2???ess?1ss?1ss?1??????

????uC?t???1?e?t???t??1?e??t?1???t?1??21?e??t?2???t?2? ????5.6 双边拉普拉斯变换

在导出单边拉氏变换式（5.5）时，曾将傅里叶积分的下限取0值，这样作的理由是注意到一般情况下

??t的实际信号都是从t?0开始的；另一方面，这样作便于引入衰减因子e，否则，若将积分下限从??开??t始，在t?0范围内，e成为增长因子，不但不起收敛作用，反而可能使积分发散。例如：

limte??t?0t??t??? ???0?

?0?

limte??t??? ??故积分式

????te?stdt不收敛。

但是，也有一些函数，当?选在一定范围内，积分式

为有限值（见例5.22）。这表明，按照式（5.57）求积分也可得到函数x?t?的一种变换式，这就是双边拉氏变换（也称为指数变换或广义傅里叶就换）。为与单边变换符号X?s?相区别，可以用XB?s?表示双边拉氏变换。

下面讨论双边拉氏变换的收敛问题。 例5.22 设已知函数

????x?t?e?stdt （5.55）

x?t????t??et???t?

其波形如图5.11（a）（见下页）。试确定x?t?双边拉氏变换的收敛区。

解（1）讨论收敛区

取积分

19

????x?t?e??tdt??e?1???tdt??e??tdt

??00?此式右侧第一项积分当??1时是收敛的，第二项积分当??0时是收敛的。所以在0???1的范围内，

x?t?e??t满足收敛条件，对其他?值而言，双边拉氏变换是不存在的。在图5.11中将函数x?t?分解为两部

分，如图（b）和（c），分别示出了它们相应的收敛区如图（d），（e），（f）。 （2）求双边拉氏变换

XB?s???x?t?e?stdt

? ?????0??e?1?s?tdt??e?stdt

0?11? ?0??1?ss?1?

不难看出，双边拉氏变换的问题可分解为两个类似单边拉氏变换的问题来处理。双边拉氏变换的收敛区一般讲有两个边界，一个边界决定于t?0的函数，是收敛区的左边界，以?1表示；另一个边界决定于

t?0的函数，是收敛区的右边界，以?2表示。若?1??2，则t?0与t?0的两个函数有共同的收敛区，双边拉氏变换存在；如果?1??2，无共同收敛区，双边拉氏变换就不存在。设有函数

x?t??eat??t??ebt???t?

则其收敛边界为：

也即收敛区落于a???b的范围之内。如果b?a，则有收敛区，双边拉氏变换存在；若b?a，则 无收敛区，双边拉氏变换不存在。 x(t)

?(t)

et?(?t)

图5.11 例5.22的波形与收敛区

从例5.22的结果还可以看出，在给出某函数的双边拉氏变换式XB?s?时，必须注明其收敛区，如不注

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?1?a，?2?b

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