连续时间系统的复频域分析

第五章 连续时间系统的复频域分析

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯是法国数学家和天文学家。拉普拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。

复频域分析是分析LTI系统的有效工具。与傅氏变换分析法相比，它可以扩大信号变换的范围，而且求解比较简便，因而应用更为广泛。一些不存在傅里叶变换的时间函数，其拉普拉斯变换却存在，这在一定程度上弥补了傅里叶变换的不足，使得拉普拉斯变换更有生命力。

本章首先从傅里叶变换中导出拉普拉斯变换，把频域扩展为复频域，将拉普拉斯变换理解为广义的傅氏变换，对拉氏变换给出一定的物理解释。然后讨论拉氏正、反变换以及拉氏变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨论线性系统的拉氏变换分析法。最后介绍双边拉普拉斯变换、线性系统的模拟和信号流图。

5.1拉普拉斯变换

在前面章节的讨论中，可以看到，信号既可用时域表示，也可用傅里叶变换的频域表示，但并不是所有的时域信号都可以有对应的频域信号。事实上有许多信号，如阶跃信号??t?、单边斜坡信号t??t?、单边正弦信号sint??t?等等，它们不满足绝对可积的条件，因而不能直接得到其傅里叶变换表达式。虽然借助于广义函数仍可求得它们的傅里叶变换，但同时也增加了分析的难度。另外还有一些常见信号，例如增长指数信号e?t???0?，由于不满足绝对可积和条件而不存在傅里叶变换。为了简化某些常用信号的变换过程和使更多的常用信号存在变换，故将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换（Laplace Transform）。

5.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换

对于一个不满足绝对可积的条件的信号x?t?，如果用一个实指数函数e择得当，就可以使x?t?e??t满足绝对可积条件，称e对x?t?e??t取傅氏变换，有

Fx?t?e??t??x?t?e??te?j?tdt??x?t?e????j??tdt （5.1）

??????t??t与之相乘，只要?的数值选

为收敛因子。

????令s???j?，则式（5.1）的结果用F?s?表示为 X?s??又根据傅里叶反变换式，可知

???? x?t?e?stdt （5.2）

x?t?e??t?1?X?s?ej?td? ?2???1??j?1??j?j?t1?X?s?eds?X?s?ej?tds （5.3） ??2???j?j2?j??j?两边乘以e，得

?t

1??j?st??Xseds （5.4）

2?j???j?由式（5.2）定义的函数X?s?称为x?t?的双边拉普拉斯变换，简称拉氏变换。它是复频率s的函数，记为L?x?t??。

-1

式（L 5.4）称为X?s?的拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。它是时间t的函数，记为L?X?s??。或称x?t?是X?s?的原函数，X?s?是x?t?的像函数。二者关系可表示为

x?t??X?j??d?的虚指数分量ej?t之和，而拉氏变换2?X?s?ds的复指数分量est之和。拉氏变换与傅是把信号分解为无限多个复频率为s???j?、复振幅为

2?j傅氏变换是把信号分解为无限多个频率?、复振幅为

1

x?t?

X?s?

氏变换的区别在于：傅氏变换是将时域函数x?t?变换为频域函数X?j??，此处时域变量t和频域变量?都是实数；而拉氏变换是将时域函数x?t?变换为复频域函数X?s?，这里时域变量t是实数，复频域变量s是复数。也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域（s域）之间的联系。

考虑到实际中遇到的信号都是有始信号，即t?0，x?t??0，式（5.2）可以写成：

X?s???x?t?e0???st dt （5.5）

称式（5.5）为x?t?的单边拉普拉斯变换，而反变换积分即式（5.4）并不改变。

此处积分下限选择0?，是因为考虑到x?t?包含??t?或其导数的情况，对于在t?0连续或只有有限阶跃型不连续点的情况，这些不同积分下限并不影响积分的值，只有当信号在t?0处包含有??t?或其导数时，

积分结果才会不同。

在下节中可看到，信号及其导数的初始值可以通过单边拉氏变换融入到s域中。单边拉式变换在分析具有初始条件的、由线性常系数微分方程描述的因果系统中起着重要的作用。所以，本书主要计论单边拉普拉斯变换（Unilateral Laplace Transform）。

5.1.2 收敛域

当信号x?t?乘以收敛因子后，有下列关系：

j? limx?t?e??t?0t??????0? （5.6）

0 σ0 σ

Re?s???则可以说在此区域????0?内拉氏变换存在。其拉式变换的收敛域为

??0，如图5.1所示的阴影部分，?0称为收敛横坐标。凡满足式

（5.6）的函数称为“指数阶函数”。指数阶函数若具有发散性可借助于指数函

图5.1 收敛域 数的衰减压下去，使之成为收敛函数。

对于稳定信号（常数，等幅）?0?0，收敛域为s平面的右半部；对有始有终的能量信号（如单个矩形脉冲信号），其收敛坐标为?0???，收敛域为整个复平面，即有界的非周期信号的拉氏变换一定存在。对于按指数规律增长的信号如et2t对功率信号（周期或非周期的）以及一些非功率非能量信号（如单位斜坡信号t??t?），其收敛坐标?0?0。

?t??t????0?，其收敛坐标?0??。而对于一些比指数函数增长更快的函

数，如e或t，找不到它们的收敛坐标，因此不能进行拉氏变换。

由于单边拉氏变换的收敛域比较简单，即使不标出也不会造成混淆。因此在后面的讨论中，常常省略其收敛域。

5.2单元信号的拉普拉斯变换

1．单位阶跃信号??t?

L???t???2．单位冲激信号??t?

L???t???3．指数信号e??t??0e?st?11 edt?????0?1?? （5.7）

s0ss?st???t?e0??st??st dt????t?dt?1 （5.8）

0??

Len??????t?0e????s?t?1 ?0?1??1 （5.9）eedt????s??0s??s????t4．正幂信号t（n为正整数）

使用分部积分法，有

Lt?

???n?0?ten?sttn?st?ndt??e?0?ss??0?tn?1e?stdt?ns??0?tn?1e?stdt

2

即

Ltn?Ltn?1

依次类推，可得

Ltn????ns????nn?1n?2nn?1211n! Lt????????n?1 （5.10）

ssssssss??1； 2s22当n?2时，有t?3。

s当n?1时，有t?表5.1给出了常用单元信号的拉氏变换

表5.1常用单元信号的拉普拉斯变换 x?t? ??t? X?s? 1 1 s1 s??x?t? sin??0t???t? X?s? ?0 22s??0?s2??2??t? e??t??t? tn??t?（n是正整数） sinh?t??t? cosh?t??t? ?tcos?0t???t? ss2??2s2??022n!sn?1 ?s?s22??022??0? et??t?（n是正整数）??tnn!?s???sn?1?tsin?0t???t? 2?0s2?cos??0t???t? 2s2??0 5.3 拉普拉斯变换的性质

实际所使用的信号绝大部分都是由单元信号所组成的复杂信号，为方便分析，常用拉氏变换的基本性质来得到信号的拉氏变换。

5.3.1线性性质 若x1?t??X1?s?，x2?t??X2?s?，则

?x1?t???x2?t???X1?s???X2?s? （5.11）

其中，?、?为任意常数（实数或复数）。 例5.1 求x?t??cos?0t??t?的拉氏变换。 解 已知

x?t??cos?0??t??1j?0te?e?j?0t??t? 21j?tLe0??t??

s?j?01?j?tLe0??t??

s?j?0??????由线性性质可知

L?cos??0t???t???同理可求得

3

s2s2??0 （5.12）

L?sin??0t???t???5.3.2 时间右移性质

若x?t??X?s?，则对任意正实数t0，有

?0 （5.13） 22s??0 x?t?t0???t?t0??X?s?e证明

L?x?t?t0???t?t0???令??t?t0，由上式变为

??st0 （5.14）

???0 x?t?t0???t?t0?e?stdt??x?t?t0?e?stdt （5.15）

t0??0x???e?s???t0?d??e?st0?0x???e?s?d??e?st0X?s?

?st0这个性质表明，时间函数在时域中延迟t0，其像函数将乘以e移在拉普斯变换中没有对应的性质。

例5.2 证明：周期信号xT?t???，称e?st0为时移因子。注意时间左

是xT?t?在一个周期内的有限持续信号，且L?x1?t???X1?s?。

证明 任意连续时间周期信号可写成：

N????x?t?NT?的拉氏变换为X?s??X1?s?。其中T为周期，x1?t??sT1?exT?t??N????x?t?NT??

根据时移性质，xT?t?的拉氏变换如下：

?x1?t??x1?t?T???t?T??x1?t?2T???t?2T????1?e?snT????sT?2sTX?s??L??x?t?NT???1?e?e??X1?s????sT?lim?N?????n??1?e?????X1?s? ?即

1X1?s? （5.16） ?sT1?e1式（5.18）表明，周期信号的拉氏变换等于其第一周期内信号的拉氏变换乘以。此外，需提?sT1?e L?xT?t???醒读者注意的是：由于此处的拉氏变换是单边的，故原周期信号的拉氏变换只能称为有始周期信号的拉氏变换。

例5.3 求图5.2（a）所示正弦波半波周期信号的拉氏变换。

?) fttx?(xt) f?(t? sin?0t?

tTOT2 OtT2T

（a） （b） 图5.2 正弦波半波周期信号及其单个信号的分解

解 单个正弦半波信号可表示为

??T???T?x1?t??sin?0t??t??sin??0?t?????t??

??2???2?其波形如图5.2（b）所示。

根据时移性质，有

?X1?s??202s??0

T?s??1?e2???? ??4

利用式（5.18），有

X?s??5.3.3尺度变换性质

?0?01?e???22s2??01?e?sTs2??0?sT211?e?sT2

若x?t??X?s?，则对任意正实数a，有 x?at??证明

L?x?at???令??at，则

L?x??????1?s? X?? （5.17）

a?a???0x?at?e?stdt

?0x???es???例5.4 求阶跃函数??at?的拉氏变换，其中a为任意正实数。 解 由式（5.19）可得

11?s?d??X?? aa?a?1?1????1L???at???

a??s??s?a?这个结果并不奇怪，因为对于任意正实数a，??at????t?。

1例5.5 已知信号x?t??t，其像函数X?s??2，试求：如图5.3（a）（b）（c）（d）所示信号的拉氏

s变换，其中，t0?0。

x(t?t0) x(t?t0)?(t)

t O t0 t O t0 (b) (a) x(t?t0)?(t?t0)

x(t)?(t?t0)

O t0 t

O t0 t

(c)

图5.3 例5.5中的四个时域信号波形

解（a）图中x?t?t0??t?t0；（b）图中x?t?t0???t???t?t0???t?；（a）图和（b）图信号在t?0时的波形相同，所以它们的拉氏变换也相同，由常用信号的拉氏变换对，得

L?t?t0??L?t??L?t0??（c）图中信号的拉氏变换，可利用时移性质：

L?x?t?t0???t?t0???X?s?e（d）图中的信号做恒等变换，有 利用时移性质可得

?st0(d)

1s2?t011?st0 ?ss2e?st0?2 sx?t???t?t0??t??t?t0???t?t0?t0???t?t0??(t?t0)??t?t0??t0?(t?t0)

e?st0t0e?st01?st0?st0?e L?x?t???t?t0???2?2sss可见，以上4种信号中，只有（c）图中的信号满足时移性质。 5.3.4 复频移性质

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