连续时间系统的复频域分析(6)

Y?s?bmsm?bm?1sm?1?...?b1s?b0 H?s?? （5.73b） ?nn?1X?s?s?an?1s?...?a1s?a0bm?bm?1s?1?...?b1s?(m?1)?b0s?m或 H?s?? （5.73c）

1?an?1s?1?...?a1s?(n?1)?a0s?n仿照上面的结论，可以很容易地画出与上两式相对应的时域和s域直接形式的模拟图，请读者自己画出。

需要指出，直接形式的模拟图，只适用于m?n的情况。当m?n时，就无法模拟了。 2．并联形式

设系统函数仍为式（5.63），即

b2s2?b2s?b0 H?s??2s?a1s?a0将上式化成真分式并将余式N0?s?展开成部分分式，即

式中p1，p2为H?s?的单阶极点；k1，k2为部分分式的待定系数，它们都是可以求得的。根据式（5.74），即可画出与之对应的并联形式的模拟图，如图5.17所示。 特例：若b2?0，则图中最上面的支路即断开了。

若系统函数H?s?为n阶的，则与之对应的并联形式的模拟图，也可如法炮制。请读者研究。 并联模拟图的特点是各子系统之间相互独立，互不干扰和影响。 并联模拟图也只适用于m?n的情况。 3．级联形式

设系统函数仍为式（5.63），即

N0?s?N0?s? ?b?22?s?p1??s?p2?s?a1s?a0k1k ?b2? ?2 （5.74）

s?p1s?p2H?s??b2?b2s2?b2s?b0b2(s?z1)(s?z2) H?s??2?s?a1s?a0(s?p1)(s?p2)s?z1s?z2 （5.75） ?b2??s?p1s?p2式中p1，p2为H?s?的单阶极点；z1，z2为H?s?的单阶零点。它们都是可以求得的。根据式（5.75），

即可画出与之对应的级联形式的模拟图，如图5.18所示。

图5.17

图5.18

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若系统函数H?s?为n阶的，则与之对应的级联形式的模拟图，也可仿效画出。读者自己思考之。 级联模拟图也只适用于m?n的情况。

4．混联形式 例如，设

2s?32s?3 ?s4?7s3?16s2?12ss(s?3)(s?2)2151?12?4??4? ss?3s?2(s?2)251?115s?3进而再改写成 H?s???? （5.76） ?4?22s4s?3s?2s?4s?4H?s??根据上式即可画出与之对应的混连形式的模拟图，如图5.19所示。

最后还要指出两点：

⑴ 一个给定的微分方程或系统函数H?s?，与之对应的模拟图可以有无穷多种，上面仅给出了四种常用的形式。同时也要指出，实际模拟时，究竟应采用哪一种形式的模拟图为好，这要根据所研究问题的目的、需要和方便性而定。每一种形式的模拟图都有其工程应用背景。

⑵ 按照模拟图利用模拟计算机进行模拟实验时，还有许多实际的技术性问题要考虑。例如，需要作有关物理量幅度或时间的比例变换等，以便各种运算单元都能在正常条件下工作。因此，实际的模拟图会有些不一样。

图5.19

5.7.4系统的框图

一个系统是由许多部件或单元组成的，将这些部件或单元各用能完成相应运算功能的方框表示，然后将这些方框按系统的功能要求及信号流动的方向连接起来而构成的图，即称为系统的框图表示，简称系统的框图。例如图5.20即为一个子系统的框图，其中图5.20(a)为时域框图，它完成了激励x?t?与单位冲激响应h?t?的卷积积分运算功能；图5.20(b)为s域框图，它完成了X?s?与系统函数H?s?的乘积运算功能。

y?t??x?t??h?t? X?(ts)x?t? ? H?s? Y?s??X?s?H?s? Fh?t?

（a）时域框图 （b）s域框图

图5.20

系统框图表示的好处是，可以一目了然地看出一个大系统是由哪些小系统（子系统）组成的，各子系统之间是什么样的关系，以及信号是如何在系统内部流动的。

应注意，系统的框图与模拟图不是一个概念，两者涵义不同。

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2s?3，试用级联形式、并联形式和混联形式的框图表示之。

例5.24 已知H?s?=

s4?7?s3?16s2?12s解 ⑴ 级联形式。将H?s改写为

H?s??2s?312s?31s?s?3??s?2?2?s?s?3??s?2?2 ?H1?s??H2?s??H3?s?

式中 H12s?311?s?=s，H2?s?=s?3，H3?s???s?2?2。 其框图如图5.21所示。由图即可得 Y?s??X?s??H1?s??H2?s??H3?s?

故得

H?s??Y?s?X?s??H1?s??H2?s??H3?s?

X?s? H

1?s? H2?s? H3?s? Y?s?

图5.21

⑵ 并联形式。将上面的H?s?改为

151H?s??41?2s?s?3?4s?2??s?2?2 ?H1?s??H2?s??H3?s??H4?s?

11式中 H1?51?s??4s，H2?s??2s?3，H3?s??4s?2，H4?s???s?2?2。 其框图如图5.22所示。由图可得

Y?s??X?s??H1?s??X?s??H2?s??X?s??H3?s??X?s??H4?s?故得

H?s??Y?s?X?s??H1?s??H2?s??H3?s??H4?s?

⑶ 混联形式。将H?s?改写为

1??51Hs??4?5s?3?4?2s2 ?s?3?s?2s?4s?4?H1?s?H2?s?H3?s??H4?s?

151式中H5s?3?1?s??4s，H2?s??s?3，H3?s??4s?2，H4?s??2s2?4s?4。

其框图如图5.23所示。由图可得 Y?s??X?s??H1?s??H2?s??X?s??H3?s??X?s??H4?s?

故得

H?s??Y?s?X?s??H1?s??H2?s??H3?s??H4?s?

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图5.22 图5.23

例5.25 求图5.24所示系统的系统函数H?s??

解 引入中间变量X1?s?，X2?s?，如图5.24所示。故有

Y?s?。 X?s?Y?s???解之得

551X1?s???X2?s? s?10s?10s?251?1????Xs?Y?s?? ?s?10s?2?s?1?H?s??Y?s?5?s?1? ?X?s??s?10??s?2??s?1?5s?5?3 2s?13s?32s?25 图5.24

5.8系统的信号流图与梅森公式

5.8.1信号流图的定义

有节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图5.25(a)所示的系统框图，可用图5.25(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输（或流动）方向，支路上标注的H?s?代表支路（子系统）的传输函数。这样，根据图5.25(b)，同样可写出系统各标量之间的关系，即

Y?s??H?s?X?s?

H?s? X?s? Y?s? H?s? Y?s? X?s? （a） （b） 图5.25

5.8.2三种运算器的信号流图表示

三种运算器：加法器，数乘器，积分器的信号流图表示如表5.3中所列。由该表中看出：在信号流图

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中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加（求和）的作用，如表中第一行与第三行中的节点Y?s?即是。

5.8.3模拟图与信号流图的相互转换规则

模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是： (1) 在转换中，信号流动的方向（即支路方向）及正，负号不能改变。

(2) 模拟图（或框图）中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图5.26所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即Y?s??X1?s??X2?s?。

X2?s?

X2?s? 1 X1?s?

1 1 Y?s? 分点 Y?s? · Y?s? X1?s? ? 1

（a）模拟图 (b) 信号流图

图5.26

(3) 模拟图（或框图）中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图5.27所示。

(4) 模拟图（或框图）中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路（若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加），但有时则不需增加（若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加）。见例5.26。

(5) 在模拟图（或框图）中，若激励节点上有反馈信号和输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路。见例5.26。

(6) 在模拟图（或框图）中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加）。见例5.26。

X2?s?

X2?s?

1 1 X1?s? 1 分点 1 分点 Y?s? X1?s? · Y?s? ? F1?s? 1

F1?s? F1?s?

（a）模拟图 (b) 信号流图

图5.27

例5.26 将图5.16、图5.17、图5.18、图5.19所示各形式的模拟图画成信号流图。

解 与图5.16、图5.17、图5.18、图5.19相对应的信号流图分别如图5.28中(a)、(b)、(c) 、(d)所示。 信号流图实际上是线性代数方程组的图示形式，即用图把线性代数方程组表示出来。有了系统的信号 流图，利用梅森公式，即可很容易地求得系统函数H(s)。这要比从解线性代数方程组求H(s)容易得多。

信号流图的优点是：

(1) 用它表示系统，要比用模拟图或框图表示系统更加简明、清晰，而且图也易画。

(2) 下面将会知道，信号流图也是求系统函数H(s)的有力工具。亦即根据信号流图，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系统的系统函数H(s)。

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