连续时间系统的复频域分析(5)

明收敛区，在取其逆变换求x?t?时将出现混淆。例如，若已知双边拉氏变换为

XB?s??11?s?1s 则对应三种不同可能的收敛区，其逆变换将出现三种可能的函数： 若收敛区为 0???1

x1?t????t??et???t?

这就是图5.11（a）和（d）给出的波形与收敛域。

若收敛区为 ??1 x2?t???1?et???t?

其波形与收敛域见图5.12（a）

若收敛区为 ??0

x3?t???et?1????t?

波形与收敛域见图5.12（b）

这表明，不同的函数在各不相同的收敛域条件下可能得到同样的双边拉氏变换。(1?et)?(t)

(et?1)?(?t))

图5.12 与例5.22具有同一变换式的其他二种收敛域和波形

现在讨论如何求左边函数的拉普拉斯变换Xb(s)。

Xb(s)??0??xb(t)e?stdt 令t???，即将左边函数对称于坐标纵轴反褶使成为右边函数，则

X?b(?s)??0xb(??)e?(?s)?d?

再令?s?p，则上式成为

Xb(p)???0xb(??)e?p?d? 综上所述，求取左边函数的拉普拉斯变换Xb(s)可按下列步骤进行： （1）对时间求反，即令t???，构成右边函数xb(??)； （2）对xb(??)求单边拉普拉斯变换得Xb(p)；

(5.56)

5.57）

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（（3）对复变量p求反，即用?s代替p，从而求得Xb(s)。

在求解双边拉普拉斯反变换时，首先要区分开哪些极点是由左边函数形成的，哪些极点是由右边函数形成的。即极点的归属问题。XB(s)的极点应分布于收敛区的两侧。如在收敛区中取一任意的反演积分路径，则路径左侧的极点应对应于t≥0的时间函数xa(t)，右侧的极点则对应于t＜0的时间函数xb(t)。xa(t)可由对应极点的部分分式项经单边拉普拉斯反变换直接得到，而求xb(t)则可将上述求左边函数正变换的步骤倒过来进行。

下面考虑用双边拉氏变换求解电路的一个实例。 例5.23 图5.13 示RC电路，???t?0时，开关S位于“1”端，当t?0时，S从“1”转至“2”端，求uC?t?波形。

解

很明显，可将t?0时所加直流电源E的作用转换为电路中的起始状态，利用单边拉氏变换求解。现在改用双边拉氏变换进行分析，为此将图5.13电路改画为图5.14（a），其中激励信号x?t?的波形如图5.14（b）所示，其表示式为

x?t??E???t?

取其双边拉氏变换，注明收敛域

X?s???uC(t)

图5.13 例5.23的电路

借助网络函数关系，容易写出uC?t?的双边拉氏变换表示式

Es???0?

1sCUC?s??E?s??于是求得 uC?t??E???t??Ee?tRC1R?sCEE????1?1s???0???s?RC ?RC?

???t? ??1????0?

?RC?

画出波形如图5.14（b）。

x?t?

uC(t) x?t? E 图5.14 例5.23的等效电路与波形

必须注意，在以上分析过程的每一步都应写明变换式的收敛域，否则将导致错误的结果，例如，对于UC?s?表示式，如果将收敛域理解为??0，则其逆变换成为

uC?t???E??t??Ee?tRC??t?

这是不确切的。

由于双边拉氏变换在收敛域方面必须考虑一些限制，因而使逆变换的求解比较麻烦，这是它的缺点。

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双边拉氏变换的优点在于：信号不必限制在t?0的范围内，在某些情况下，把所研究的问题从时间为??到??作统一考虑，可使概念更清楚；此外，双边拉氏变换与傅里叶变换的联系更紧密，为全面理解傅氏变换、拉氏变换以及第八章将要学习的z变换之间的区别和联系，有必要对双边拉氏变换的原理有所了解。

5.7系统的模拟图与框图

5.7.1 三种运算器

系统模拟中应用的运算器有三种：加法器、数乘器（也称标量乘法器）和积分器。三种运算器的表示符号及其时域、s域中输入与输出的关系，如表5.3中所示。

5.7.2 系统模拟的定义与系统的模拟图

在实验室中用三种运算器：加法器、数乘器和积分器来模拟给定系统的数学模型——微分方程或系统函数H?s?，称为线性系统的模拟，简称系统模拟。经过模拟而得到的系统称为模拟系统。

从系统模拟的定义可看出，所谓系统模拟，仅是指数学意义上的模拟。模拟的不是实际的系统，而是系统的数学模型——微分方程或系统函数H?s?。这就是说，不管是任何实际系统，只要它们的数学模型相同，则它们的模拟系统就一样，就可以在实验室里用同一个模拟系统对系统的特性进行研究。例如当系统参数或输入信号改变时，系统的响应如何变化，系统的工作是否稳定，系统的性能指标能否满足要求，系统的频率响应如何变化，等等。所有这些都可用实验仪器直接进行观测，或在计算机的输出装置上直接显示出来。模拟系统的输出信号，就是系统微分方程的解，称为模拟解，这不仅比直接求解系统的微分方程来得简便，而且便于确定系统的最佳参数和最佳工作状态。这正是系统模拟的重要实用意义和理论价值。

在工程实际中，三种运算器：加法器、数乘器和积分器，都是用含有运算放大器的电路来实现，这在电路基础课程中已进行了研究，不再赘述。系统模拟一般都是用模拟计算机或数字计算机实现，也可在专用的实验设备上实现。

由加法器、数乘器和积分器连接而成的图称为系统模拟图，简称模拟图。模拟图与系统的微分方程（或系统函数H?s?）在描述系统特性方面是等价的。

名称 加法器 表5.3 三种运算器的表示符号及其输入与输出的关系 时域表示 信号流图表示 s域表示 1 X1?s? x2?t? X1?s? ?Y?s? Y?s? ??? yt x2?t? X2?s? 1 y?t??x1?t??x2?t? Y?s??X1?s??X2?s? X2?s? Y?s??X1?s??X2?s? a Y?s? a x?t? y?t? X?s? a ?? XsY?s? Y?s??aX?s? y?t??ax?t? Y?s??aX?s? 1 1y?0?? y(0?) s sy?t? x?t? 1? X(s) Y?s? ?1 t1 ss?1 y?t??x???d? ?? XsY?s? 数乘器 积分器 ????y?0????x???d? t0?Y?s??11X?s??y?0?? ss Y?s??11X?s??y?0?? ss其中y0???x???d? ????0? 注：①y0?????x???d?，为响应y?t?的初始状态

0???②关于信号流图的意义见5.8

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5.7.3 常用的模拟图形式

常用的模拟图有四种形式：直接形式、并联形式、级联形式和混联形式。它们都可根据系统微分方程或系统函数H?s?画出。在模拟计算机中，每一个积分器都备有专用的输入初始条件的引入端，当进行模拟实验时，每一个积分器都要引入它应有的初始条件。有了这样的理解，下面画系统模拟图时，为简明计，先设系统的初始状态为零，即系统为零状态。此时，模拟系统的输出信号，就只是系统的零状态响应了。

1．直接形式

设系统微分方程式为二阶的，即

y???t??a1y??t??a0y?t??x?t? （5.58） 为了画出其直接形式的模拟图，将上式改写为下式

y???t???a1y??t??a0y?t??x?t?

根据此式即可画出时域直接形式的模拟图，如图5.15?a?所示。可见图中有两个积分器(因为微分方程是二

阶的)，有两个数乘器和一个加法器。图中各变量之间的关系，一目了然，无须琐述。

图5.15

若将式（5.58）进行拉氏变换即有

s2Y?s??a1sY?s??a0Y?s??X?s? （5.59） 或 s2Y?s???a1sY?s??a0Y?s??X?s? （5.60） 根据此式即可画出s域直接形式的模拟图，如图5.15（b）所示。

将图5.15（a）和（b）对照，可看出两者的结构完全相同，仅是两者的变量表示形式不同。（a）中是时域变量，（b）中则是s域变量，而且两者完全是对应的。所以，为简便计，以后就不必要将两种图都画出了，而只须画出二者之一即可。

根据式（5.59）可求出系统函数为

将式（5.61）与图5.15（b）进行联系对比，不难看出，若系统函数H?s?已知，则根据H?s?直接画出s域直接形式模拟图的方法也是一目了然的。

若系统的微分方程式为如下的形式

y???t??a1y??t??a0y?t??b2x???t??b1x??t??b0x?t? （5.62） 则其系统函数（这里取m=n=2）为

Y?s?b2s2?b1s?b0b2?b1s?1?b0s?2 H?s?? （5.63） ???1?2X?s?s2?a1s?a01?a1s?a0s为了画出与此微分方程或H?s?相对应的直接形式的模拟图，可引入中间变量f?t?，使之满足下式

Y?s?1s?2 H?s?? （5.61） ??X?s?s2?a1s?a01?a1s?1?a0s?2故有 f???t???a1f??t??a0f?t??x?t? （5.65）

f???t??a1f??t??a0f?t??x?t? （5.64）

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与此式相对应的模拟图如图5.16（a）的下面部分所示。

f?t?

f???t?

f??t?

sF(s)

s2F(s)

F(s)

（a）时域 （b）s域

图5.16

将式（5.64）分别相继乘以系数b0,b1,b2，即有

b2f???t??a1?b2f??t???a0?b2f?t???b2x?t? （5.68） 将式（5.67）求导一次，将式（5.68）求导两次，即有

b0f???t??a1?b0f??t???a0?b0f?t???b0x?t? （5.66） b1f???t??a1?b1f??t???a0?b1f?t???b1x?t? （5.67）

?b1f???t????a1?b1f??t????a0?b1f?t????b1x??t?

?b2f???t????a1?b2f??t????a0?b2f?t????b2x???t?

??此两式又可写为 ?b1f??t???a1?b1f??t???a0?b1f??t???b1x??t? （5.69） ?? ?b2f???t???a1?b2f???t???a0?b2f???t???b2x???t? （5.70）

将式（5.66），（5.69），（5.70）相加并归并同类项即得

?b2f???t??b1f??t??b0f?t????a1?b2f???t??b1f??t??b0f?t???

?a0?b2f???t??b1f??t??b0f?t???b2x???t??b1x??t??b0x?t?

（5.71）

将此式与式（5.62）比较，可看出必有

y?t??b2f???t??b1f??t??b0f?t? （5.72） 根据此式即可画出与之对应的模拟图，如图5.16（a）中的上面部分所示。这样，就得到了与式（5.62）相对应的完整的直接形式的模拟图，如图5.16（a）所示。

与式（5.62）相对应的s域直接形式的模拟图如图5.16（b）所示。此图也可根据系统函数H?s?的表示式（5.63）直接画出，其步骤和方法一目了然，也无须琐述。

从图5.16中看出，图中有两个积分器（因微分方程是二阶的）、两个加法器（因式5.62中等号左端和右端各有一个求和式）和五个数乘器。

推广 若系统的微分方程为n阶的，且设m=n，即

mm?1 yn?t??an?1yn?1?t??..? .a1y??t??a0y(t)?bmx?t??bm?1x?t??...?b1x??t??b0x?t? （5.73a）

则其系统函数为

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