上海数学家教：一数学三角函数家教用材(4)

例6 求值sec50??tg10? 解：原式?1sin10??（直接通分很麻烦，分母越简单越好，这是原则）

cos50?cos10?1cos80??? sin40?sin80???????例7 求值原式?2cos40??cos80?sin80?cos40??(cos40??cos80?)sin80?cos40??2cos60?cos20? sin80?cos40??cos20?sin80?2cos30??cos10?sin80?3????????sin40?(1?sin10?)

sin10?cos220?2sin20?cos20?(1?sin10?)

sin10?cos220?4sin10?cos10?(1?sin10?)

sin10?cos20?4cos10?(1?sin10?)cos20?4cos10??2sin20?cos20?4sin80??2sin20?cos20?2sin80??2(sin80??sin20?) cos20?2sin80??2cos50?cos20?2(sin80??sin40?)cos20?2?2sin60?cos20?cos20??23例8 求值sin42??cos12??sin54?．

解：设法出现特殊角：原式?cos48??cos12??sin54?

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?(?2)sin30?sin18??sin54??sin54??sin18?54??18?54??18?

?2cossin22?2cos36??sin18??2sin18??cos18??cos36?（出现倍角关系）

cos18?sin36??cos36?cos18?2sin36??cos36??2cos18?

sin72??2cos18?1?2?

四、三角中常用的变角代换技巧

在三角的计算与证明中，往往要进行角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系。三角中的变角代换具有很强技巧性，本文就三角中常用到的一些变角代换作些说明。 1. 单角化复角

这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角变换式有： <1>??(???)??，??(???)?? <2>?????2????2，?????2????2

2 例1. 求证：sinA?sinB?cosAsin(A?B)?2sinAsinA?B。 2 证明：左边?sinA?sin[(A?B)?A]?cosAsin(A?B)

?sinA?sin(A?B)cosA?cos(A?B)sinA?cosAsin(A?B) ?sinA[1?cos(A?B)]

?2sinAsin2

例2. 求证：cosAcosB?cos2A?B2A?BA?B?cos2?1 22本资料由阳光家教网整理，学习更多请进www.ygjj.com查看

证明：左边?cos(A?BA?BA?B2?2)cos(A?B2?2) ?(cosA?B2cosA?BA?BA?B2?sin2sin2)?(cosA?BA?B2cos2?sinA?B2sinA?B2) ?cos2A?BA?BA?BA?B2cos22?sin22?sin22

?cos2A?BA?BA2cos22?(1?cos2?BA?B2)(1?cos22)?cos2A?B2?cos2A?B2?1 2. 单角化倍角

单角化倍角的主要角度换式有??2???。

例3. 求证：

1sin2x?cot2x?tanx

证明：左边?cosxsin2xcosx?cos(2x?x)sin2xcosx

?cos2xcosx?sin2xsinxsin2xcosx

?cot2x?tanx

例4. 求证：

2sinAcos3A?cosA?tan2A?tanA

证明：左边?2sin(2A?A)2cos2AcosA

?1cos2AcosA?(sin2AcosA?cos2AsinA) ?sin2AsinAcos2A?cosA ?tan2A?tanA 3. 倍角化复角

倍角化复角常用的角变换式有：2??(???)?(???)，2??(???)?(???) 例

5. 已知

cos(???)??45，cos(???)?45，且????(?2，?)????(3?2，2?)，求cos2?，cos2?。 解：因为cos(???)??4?5，????(2，?)

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所以sin(???)?1?cos2(???)?3 543?，????(，2?) 5232 所以sin(???)??1?cos(???)??

5 又因为cos(???)? 所以cos2??cos[(???)?(???)]

?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???) ?4433?(?)??(?)55557??25

所以cos2??cos[(???)?(???)]

?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???)4433 ??(?)?(?)?

5555??1 4. 复角化复角

复角化复角内容丰富，但主要有以下三组变换式： <1>2????(???)??，2????(???)?? <2>

???2?(???2)?(?2??)，???2?(???2)?(?2??)

<3>(

?4??)?(?4??)??2?(???)，(?4??)?(?4??)??2?(???)

2，求tan(??2?)之值。 513 解：因为cot??2，所以tan??，tan(???)??

25 例6. 已知cot??2，tan(???)?? 所以tan(??2?)??tan(2???)

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??tan[??(???)]tan??tan(???)??1?tan?tan(???)12?(?) 25??121??(?)251??12

?? 例7. 已知cos(cos?1?2?)??，sin(??)?，并且????，0????，试求29232???2之值。

解：因为 所以

?2????，0????

?42?1?2 因为cos(??)??，sin(??)?

2923 所以sin(??????2??，??4??2????

??14)?1?cos2(??)?1?(?)2?5 2299?25 ??)?1?()2?233 cos(?2??)?1?sin2( 所以cos???2?cos[(???2)?(?2??)]

2215452?? ?(?)?939375?27

例8. 已知

?cos(???)cos(???)?sin(???2)sin(?2??)

?4???3???3?5，0???，且sin(??)?，cos(??)?，求4445413sin?(??)之值。

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