上海数学家教：一数学三角函数家教用材

高考数学总复习第七讲：三角函数

一、三角函数的图象和性质

一、教学目的：

1．使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，确定其单调区间及周期的方法。

2．会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期，或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三角函数的周期；

3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画四函数及y=Asin(ωx+φ)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。

考试内容：用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、余切函数的图象和性质；函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

二、基本三角函数的图象

定义域 y=sinx R y=cosx R y=tanx y=cotx {x|x?k?? R ?，x?R}x∈R} 2R {x|x≠kπ， 值域 周期性 [-1，1] 最小正周期2π [-1，1] 最小正周期2π 最小正周期π 增区间 增区间 [2kπ-π，2kπ] ??(k??，k??) 减区间 22[2kπ，2kπ+π] 单调区间 增区间 k∈z ?[2k??2，2k???2] 最小正周期π 减区间 （kπ，kπ+π） 减区间 本资料由阳光家教网整理，学习更多请进www.ygjj.com查看

[2k??最值点 k∈z ?2，2k??3?] 2最大值点(2k??最小值点 ?,1) （2kπ，1） 2最大值点 无 无 (2k???2,?1) 最小值点 （2kπ+π，-1） 对称中心 （kπ，0） k∈z 对称轴 k∈z (k?? x=kπ ?2,0) (k?,0) 2(k?,0) 2x?k???2无 无 三、（一）性质——单调性、奇偶性、周期性（注意书写格式及对角的讨论） 例1．用定义证明：f(x)=tgx在(???,)递增。 22例2．比较下列各组三角函数的值的大小 （1）sin194°和cos160°；

4374?)和ctg(??) 15193?3?)和sin(cos)； （3）sin(sin88（2）ctg(?（4）tg1，tg2和tg3；

（1）>（2）<（3）>（4）tg2

化为同名、角在同一单调区间内的函数，进而利用增减性比较函数值大小。 例3．求下列各函数的单调区间 （1）y??2cos(x??)； 23（2）y?1?sin2x?3cos2x（减区间） （3）y??sin2x?sinx； （4）y?log1cos(??x3?4)（增区间）

（1）4kπ-2π/3≤x≤4kπ+4π/3（增）；4kπ+4π/3≤x≤4kπ+10π/3（减），k∈z （2）[k???12，k??5?]，k?z 12（3）[2kπ-π/2，2kπ+π/6]与[2kπ+π/2，2kπ+5π/6]（增）； （4）6kπ-3π/4≤x<6kπ+3π/4

[2kπ-π/6，2kπ+π/2]与[2kπ+5π/6，2kπ+3π/2]（减）； k∈z 例4．有以下三个命题；

（1）因为sin(0+π)=sinπ=0，sin(π+π)=sinπ=0，

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sin(2π+π)=sinπ=0，所以π是y=sinx的周期；

（2）因为sin3x=sin(3x+2π)，所以y=sin3x的最小正周期是2π； （3）设ω≠0，因为sin?x?sin(?x?2?)?sin?(x?所以y=sinωx的周期为

2??)，

2?。 ?其中正确的命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 例5 求下列函数最小正周期

（1）y?cos2(?x?2)；（1）T=1； （2）y?tgxx|a|x?ctg；（2）T?； aa2（3）y?sin(x??3)sin(?6?x)；（3）T=π；

（4）y?cos4x?sin4x；（4）T=π； （5）y?（6）y?cosx；（5）T=2π；

1?sinx?2tg2xT?；（6）； 221?tg2x?2；

（7）y=|sin2x|；（7）T?4sinx(1?tan2x)例6求函数y?的周期。 2secx(1?tanx)解：y=4sinx·cosx·cosx=2sin2x·cos2x=sin4x 注意到函数的定义域为{x|x∈R，且x?k???2，k∈z}

在直角坐标系中，画出其图象

观察图象并根据周期函数的定义，可直所求函数的周期是π。

例7．已知函数f(x)?sinn?(n?N)， 3

求：f(1)+f(2)+f(3)+??+f(100)的值。 解：

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由函数f(n)?sinn?(n?N)的周期为6 3可知f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0 又100=6×16+4

∴f(1)+f(2)+??+f(100) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

?3333 ??0??2222例8．求下列函数的最小正周 （1）y?|sin(2x??3)|

（1） T??2

（2）y?|sin(2x??3)?1| 2

（2）T=π

求周期的一般思路大致有两种：一是化目标函数为单函数的形式，如y=Asin(ωx+φ)+B；二是可结合图象进行判断。

例10．试判断下列各函数的奇偶性： （1）f(x)=|sinx|-xctgx； （2）f(x)=sinx-cosxtgx；

（3）f(x)?1?sinx?cosx；非奇非偶函数 既奇又偶函数

1?sinx?cosx说明：定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以在判断函数的奇偶性时，一定首先判断函数的定义域的对称性；

在等价变换的前提下，一般先化简解析式，再判断奇偶性，如（2）： 函数图象的初等变换：平移变换与伸缩变换；对称变换

平移变换与伸缩变换一注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，即综合多步变换时，要考虑变换顺序。

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四、（二）y=Asin(ωx+φ) ω>0的图象及变换

相位变换周期变换振幅变换(1)??????(2)??????(3)?????? (左、右平移)(左、右伸缩)(上、下伸缩)

周期变换相位变换振幅变换(1)??????(2)??????(3)?????? (左、右伸缩)(左、右平移)(上、下伸缩)

三、y=Asin(ωx+φ)的图象与变换 相位变换-φ>0左移；φ<0右移； 周期变换- ω>1，横坐标缩短

1?倍；0< ω<1，横坐标伸长

1?倍；

振幅变换-A>1，纵坐标伸长A倍；0

10?，??； 11610?B．??，???；

116A．??C．ω=2，??

?6；

D．ω=2，????6；

例1．用五点法作函数y?3sin(2x?样的变换得到的。

?0 ?2x? ?3)的简图，并说明它是通过y=sinx的图象作怎

π 32x y ?0 ?6 ? 123 ? 30 3? 27? 12-3 2π 5? 60 本资料由阳光家教网整理，学习更多请进www.ygjj.com查看

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