东南大学工程矩阵试卷new(7)

〉试求矩阵A及B的所有可能的Jordan标准形；

〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明你的理由。

*（10%）假设?1?(1,3,2), ?2?(2,0,?1)，R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1?2)，

3

??(1,1,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。

??V*（8%）证明题

〉设A是正规阵，证明A为Hermite阵的充分必要条件是A的特征值全为实数。 〉设??C，且???1。证明：I???是正定矩阵。 *（20%）假设矩阵A??〉证明：V是C〉假设C2?22?2nHH?11?2?2V?X?C|AX?O?， ，????1?1?的子空间；

y??|?x,y?C?，分别求V,W,V?W,V?W的基和维数。 ?x???045???At*（12%）设矩阵A??02?1?。试将e表示成A的次数不超过2的多项式。

?010????11?2?2*（20%）假设矩阵A???，在C上定义映射f如下：

?00?的子空间W???对任意X?C〉证明：f是C〉求f在C2?22?22?22?2??x??y， f(X)?AXA

上的线性变换；

的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数； 〉问：C?R(f)?K(f)是否成立？为什么？ *（15%）假设A是s?n矩阵。

〉问：当矩阵G满足什么条件时，G是A的广义逆矩阵；

?1?1?〉假设矩阵A??0??0100??100??，求A的广义逆矩阵A。

0?1?2??012?23*（18%）已知矩阵A的特征多项式是C(?)?(??2)(??3)，A的最小多项式m(?)?(??2)(??3)2。

〉试求矩阵A的Jordan标准形；

1000?2??0〉若矩阵B??0??0?0?000x??3000?3300?，问：参数x满足什么条件时，A与B是相似的？

?3330?0002?? 31

?11?1?1*（8%）假设矩阵A???10??01的一组标准正交基。 *（7%）证明题

11??1?1??，求VV?K(A)是齐次线性方程组Ax??的解空间。

10??01?AtrA〉设A是n阶方阵，证明：dete?e。

〉设A是上三角矩阵。若A是正规矩阵，证明：A是对角阵。 *（16%）设C2?2的子空间

??aa????a?b??V??a,b?C ， V1????a,b?C??? ?2??bb???????ab??分别求V1,V2,V1?V2及V1?V2的基及维数

?1?*（10%）设A??0?2??1*（14%）设A???1〉求f在C2?20?1??00?，求eAt。 0?2??1?2?22?2?，在C中定义线性变换f：f(X)?AX?XA，?X?C。 1?的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉分别求f的值域R(f)及核K(f)的基和维数。

?101????*（10%）设A??120?。求A的广义逆矩阵A。

?221????2xy???*（10%）设矩阵A??02z?。

?00?1???〉写出A的一切可能的Jordan标准形J；

J〉求e。

??101???*（10%）设A???300?, 求矩阵A的下列范数：

?010???Am, AF ，Am ，A1，A2，A?

?1*（6%）设A?Cs?n。若秩(A)= 1，证明： A2 =AF

。这里 A2 与 AF

分别表示矩

阵A的2范数与Frobenius范数。

*（6%）设A是正规阵，证明A为Hermite阵的充分必要条件是A的特征值全为实数。 *（6%）设矩阵A,B?Cn?n ，如果A2?A,B2?B，且秩(A)= 秩(B)， 证明：A与B相似。

32

*（6%）设A?Cn?n

, B?CHs?s,

f(?)是A的特征多项式， 证明f(B)可逆的充分必要条

H件是A与B无公共的特征值。

*（6%）设??C，且???1。证明：I???是正定矩阵；

n?PHP?I。这里I是n阶单位矩阵。

??ab????xy??2?2|?a,b,c?C* (16%)假设C的子空间V1???， V?|?x,y?C????。分?2?abxx?y????????别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及其维数。

*证明：存在n阶可逆阵P， 使??H?000???2A* (8%)设矩阵A???121?。试将Ae表示成关于A的次数不超过2的多项式。

?1?10???2?2?ab?a?bc?d?,2?2* (16%)C上的线性变换f定义如下：f(X)??X????C ???cd??c?da?b?〉求f在C的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数； 〉问：C2?2?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?0011??* (8%)假设矩阵A??1?200?，求A的广义逆矩阵A。

????2400???2?2* (12%)假设矩阵A的特征多项式是c(?)?(??a)6，最小多项式是m(?)?(??a)3，并且

r(A?aI)?3。

2〉写出A的若当标准形K，并讨论A的若当标准形J；

〉写出e

* (10%)假设A?Cs?t,B?Cm?n,M??Jt?AO??。若AF?a, B?OB?F?b， A2?c，

B2?d。试求MF和M22。

* 假设n?n矩阵A满足A?2A，证明：

A相似于对角阵???2Ir???,其中r为A的秩； ?O?tr(A)?2r(A).

* 假设酉矩阵A是正定的，证明：A?I。

* 假设A是n?n上三角矩阵，若A是正规矩阵，证明：A是对角阵。

* 假设n?n矩阵A的秩等于1，若A不是幂零阵，证明：A相似于对角阵。

* 假设A,B均是n?n Hermite矩阵，若A的特征值均大于a，B的特征值均大于b，证明：

A?B的特征值均大于a?b。

2?2*（20%）记C为复数域C上的2?2矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，

??11?2?2矩阵A???，V?X?C|AX?XA。

?00???〉证明V是C2?2的子空间，并求V的基和维数；

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〉假设C2?2的子空间W?????a0??|?a,b?C?，求W的基和维数； ?a?bb????〉求V?W,V?W的基和维数。

?0?0*（12%）假设矩阵A???0??0000??500??，试求A的广义逆矩阵A。

03?1??0?31??101???*（16%）设矩阵A??10?1?。

?000???〉分别求A的特征多项式及Jordan标准型；

〉写出A的最小多项式；

〉将e表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求e。 *（20%）记C2?2AtAt为复数域C上的2?2矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，

2?2对固定的矩阵A,B?C2?2，定义C上的变换如下：对任意X?C2?22?2，f(X)?AXB。

〉证明：对给定的矩阵A,B?C2?2，f是C〉设A??上的线性变换；

?10??11?2?2,B????。分别求E11,E12,E21,E22在f下的像，并求f在C的基

?10??00?E11,E12,E21,E22下的矩阵M；

?10??11?求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数； ,B????，

?10??00?〉假设A??〉问：C?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?210??32y?????* (12%)设矩阵A??0x0?，B??020?。

?403??003?????〉根据x的不同的值，讨论矩阵A的所有可能的Jordan标准形； 〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明理由。

* (10%)假设R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1,?2)，其中?1?(0,1,0), ?2?(1,0,2)。设

3

2?2??(1,0,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。

??V* (10%)证明题

〉证明：Hermite阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不是Hermite矩阵，也不是酉矩阵。

〉若n维列向量??C的长度小于2，证明：4I???是正定矩阵。 *（20%）记C2?2nH为复数域上的2?2矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间。

2?22?2的子集VA,B为VA,B?X?C|AXB?O。

对固定的矩阵A,B，定义C?? 34

〉证明：对矩阵A,B，集合VA,B一定是C〉假设A??2?2的子空间。

?10??11?,B????，分别求子空间VA,B和VB,A各一组基和它们的维数。 1000????〉 对第2小题中的A,B，求VA,B?VB,A和VA,B?VB,A的各一组基及它们的维数，并问：

VA,B?VB,A

〉是不是直和？为什么？

?30?00*（12%）假设矩阵A???00??00?11?*（16%）设矩阵A??00?1?1?00??00??，试求A的广义逆矩阵A。 12??24?0??0?。 0??〉试分别求A的特征多项式和最小多项式；

〉写出A的Jordan标准型； 〉求A100；

2?2〉试将e表示成A的次数不超过2的多项式。 *（20%）记C为复数域上的2?2矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间。

2?2At对任意固定的矩阵A?C，定义C2?22?2上的变换如下：对任意X?C2?22?2，f(X)?XA。

〉证明：对固定的矩阵A?C〉设A??，f是C上的线性变换；

?1?1?2?2?，求f在C的基E11,E12,E21,E22下的矩阵M；

??11??1?1?〉假设A???，求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数；

??11?〉问：C?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?x00??5y2?????*（12%）设矩阵A??150?，B??02t?。

?413??005?????〉根据x的不同的值，讨论矩阵A的所有可能的Jordan标准形；

〉若A与B是相似的，问：参数x,y,t应满足什么条件？试说明你的理由。

2?2?1??0??1???????3

*（10%）假设R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1,?2)，其中?1??1?, ?2??1?。设???1?。

?0??1??1???????在V中求向量?0，使得???0?min???。

??V*（10%）证明题

〉设B是s?n矩阵，A?BB。证明：A是Hermite矩阵，而且A还是半正定的。

H 35

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