东南大学工程矩阵试卷new(5)

的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；

11??12??21??22???00??00??10??01?〉试求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及它们的维数； 〉求f在C2?2〉问：R(f)＋K(f)是不是直和？为什么？

??x1???x1???????xx12010??????244?2??*设R的子空间V?????R|???x????，求V的一组标准正交基。 ??x?1012??3?0????3?????x4???x4???*假设V为欧氏空间，k为实数，??V是单位向量。V上的线性变换f定义如下：

f(?)???2k??,??? ???V

问：当参数k取什么值时，f是V上的正交变换？

?322???*假设矩阵A的特征多项式及最小多项式都等于(??3)(??4)2，并且B??0?45?。

?00?4???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?308???10050*已知矩阵A??316?，求A?2A。

??20?5????11100???11100?，求A的广义逆矩阵A?。 *已知矩阵A???00011???00023??* 假设A是n?n酉矩阵,B是n?n矩阵。证明：AB是酉矩阵当且仅当B是酉矩阵。 * 假设A、B都是n?nHermite矩阵。证明AB是Hermite矩阵当且仅当AB?BA。

n?n* 假设C的子空间

??xy????xx??， V1???V2????|?x,y?C??|?x,y?C?

???x?y????yy??分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。

?11?2?2?，在C上定义变换f如下： ?00?f(X)?AX， ?X?C2?2。

2?2〉证明：f是C上的线性变换。

* 假设A??的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；

11??12??21??22???00??00??10??01?〉试求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及它们的维数； 〉求f在C2?2〉问：R(f)＋K(f)是不是直和？为什么？

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??x1???x1???????xx12010??????244?2??* 设R的子空间V?????R|???x????，求V的一组标准正交基。 ??x?1012??3?0????3?????x4???x4???* 假设V为欧氏空间，k为实数，??V是单位向量。V上的线性变换f定义如下：

f(?)???2k??,??? ???V

问：当参数k取什么值时，f是V上的正交变换？

?322???* 假设矩阵A的特征多项式及最小多项式都等于(??3)(??4)2，并且B??0?45?。

?00?4???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?308???10050* 已知矩阵A??316?，求A?2A。

??20?5????11100???11100?，求A的广义逆矩阵A?。 * 已知矩阵A???00011???00023??* 假设A是n?n酉矩阵,B是n?n矩阵。证明：AB是酉矩阵当且仅当B是酉矩阵。 * 假设A、B都是n?nHermite矩阵。证明AB是Hermite矩阵当且仅当AB?BA。

n?n*（20%）假设C的子空间：

??x?x????ab??V1???|?x,y?C，V?|a,b,c,d?C且a?b?c?d?0???? ?2???y?y????cd??分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。 *（20%）假设A???1?1?2?2?，在C上定义变换f如下：

?00?f(X)?AX， ?X?C2?2。

上的线性变换。

〉证明：f是C〉求f在C2?22?2的基E??10?,E??00?,E??01?,E??00?下的矩阵M；

11??21??12??22???00??10??00??01??ab? ?，写出S在上述基下的坐标，求f(S)，并写出f(S)在上述基下的坐标；

?cd??ab?〉假设S???，问：a,b,c,d满足什么条件时f(S)＝Ｏ？

cd??〉试给出f的核空间的一组基。

* (10%)假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的映射f定义如下：对任意x?V，

〉假设S?? 22

f(x)?ax?2b?x,???。 〉证明：f是V上的线性变换；

〉问：当参数a,b取什么值的时候，f是V上的正交变换？说明你的理由。

?101?*（14%）设A???21?1???。

?002??〉求A100；

〉将矩阵函数eAt写成关于A的多项式。

*（１４%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)?(??2)2(??3)4,A的最小多项式

mA(?)?(??2)(??3)2。

〉写出A的所有可能的Jordan标准形；

〉如果已知矩阵A?3I的秩为3,写出A的所有可能的Jordan标准形；

???231111??0?21111?〉假设矩阵B???003000???002300?,问:A与B是否相似？为什么？

???001230???001123?????11200?*（12%）已知矩阵A??00011????00022?，求A的广义逆矩阵A?。

?00011??*（１０%）判断下列结论是否成立。若成立，请给予证明；若不成立，请举出反例： 〉两个Hermite矩阵的乘积还是Hermite矩阵； 〉两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵。 *（20%）假设A???1?1??1?，C2?2的子空间：

?1?V2?21??X?C2?|AX?O?， V2??X?C2|XA?O?

分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。 *（20%）定义C2?2上的线性变换f如下：

f(X)???a?bc?d?， ?ab?2?2?a?bc?d???X???cd???C

〉求f在C2?2的基E?10??01??00??00?11??0?,E12??0??,E21???10??,E22???01?下的矩阵M；?0??0?〉假设S???ab??cd?，问：a,b,c,d满足什么条件时f(S)＝Ｏ？

?〉求f的核空间K(f)的一组基及其维数；

23

〉求f的值域R(f)的一组基及其维数；

〉问：是否有C2?2?R(f)?K(f)？为什么？

* (10%)假设?是n维欧几里德空间V中的单位向量，V上的映射f定义如下：对任意x?V，

f(x)?ax?b?x,???。

〉证明：f是V上的线性变换；

〉问：当参数a,b取什么值的时候，f是V上的正交变换？说明你的理由。

?101???*（14%）设A??21?1?。

?00?1???〉求A的特征多项式、最小多项式及A的Jordan标准形；

10050〉求A?2A；

At〉将矩阵函数e写成关于A的多项式。

*（14%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)?(??2)2(??3)4,A的最小多项式

mA(?)?(??2)(??3)2。

〉问：A是几阶矩阵？请写出A的所有可能的Jordan标准形； 〉如果矩阵A?3I的秩为3,写出A的Jordan标准形；

??23??0?2?00〉如果矩阵A?3I的秩为3,矩阵B???00?00??00?么？

1111??1111?3000??,问:A与B是否相似？为什

2300?1230??1123???1111????*（12%）已知矩阵A??1001?，求A的广义逆矩阵A。

?1111???H* 若A是n阶正规阵，Q是n阶酉矩阵，证明：矩阵B?QAQ也是正规矩阵。

?* 假设n阶方阵A,B满足ABA?A，且BA是Hermite矩阵。证明：BA?AA（请注明每一

步的理由）。 *（20%）假设C2?2的子空间：

??x?x????ab??V1???|?x,y?C， V?|a,b?C???? ?2???y?y????ba??分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。

*（20%）假设A???1?1?2?2?，在C上定义变换f如下：

?1?1?f(X)?AX， ?X?C2?2

上的线性变换；

〉证明：f是C2?2 24

〉求f在C2?2的基E11???10??00??01??00?,E?,E?,E??21??12??22??下的矩阵M； 00100001????????〉假设X???ab??，分别写出X及f(X)在上述基下的坐标列向量x,y，并问：x,y,M之

?cd?间有什么关系？

?ab??，问：a,b,c,d满足什么条件时f(S)＝Ｏ？ cd??〉求f的核空间K(f)的一组基， 〉问：f的值域R(f)的维数是多少？

〉假设S???x1?x2?x3?x4?0* (10%)设V是齐次线性方程组?的解空间，??(1,1,1,1)T，求?0?R4使得

?x1?x2?x3?x4?0???0?min???。

??V?120???*（14%）设A??010?。

?12?1???〉求A的特征多项式、最小多项式及A的Jordan标准形；

5025〉求A?2A；

At〉将矩阵函数e写成关于A的多项式。

*（14%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)?(??1)2(??1)4,A的最小多项式

mA(?)?(??1)(??1)2。

〉写出A的所有可能的Jordan标准形；

〉如果矩阵A?I的秩为4,写出A的Jordan标准形；

??10???2?1?11〉如果矩阵A?3I的秩为3，矩阵B???11?11??11?么？

0000??0000?1234??，问:A与B是否相似？为什

0123?0012??0001???11200????*（12%）已知矩阵A??00011?，求A的广义逆矩阵A。

?00022???*（１０%）证明题：

〉假设n阶Hermite矩阵A是正定阵，C是n阶可逆矩阵。证明：矩阵B?CAC也是正定

矩阵。

〉若n阶上三角矩阵A是正规阵，证明A一定是对角阵。

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