东南大学工程矩阵试卷new

*（12%）在C2?2中，已知

V??x?2x????|?x,y?C?， V??x?y??1????y?2y?2?????2x2y??|?x,y?C??????

??分别求V1，V2，V1?V2及V1?V2的基.

*（8%）设f,g为线性空间V上的线性变换，且fg?f. 试证：V?K(f)?R(g)；

*（16%）在C2?2上已知线性变换

f(X)???dc???0a???， ?X???ab???cd??2?2??C 〉求f在基?E11,E12,E21,E22?下的矩阵A；

〉并求A的Jordan标准形.

* 已知A的特征多项式与最小多项式都是?5，分别求A及A2的Jordan标准形.

*（8%）设?,?为欧氏空间V（未必是有限维的）上两正交的单位向量，作线性变换：

f(?)???a??,????b??,???， ???V

求使f为正交变换的实数a与b之一切值.

*（8%）已知n阶方阵A满足A2?2A?8I，且A?2I的秩是r，求det(A?I).

*（10%）设A,B为方阵，作M???AO???OB???，设t是参数.

〉试证：eMt???eAtO????OeBt??；

〉已知A???111???1??01???，B????11???，求eMt. *（10%）设?为n?1矩阵，?为s?1矩阵，作A???H.

〉求A?（用?,?表示）；

〉试证：AF??2?2.

*（10%）试证：若A为n阶正规矩阵，则

H?maxxAx?x?CnxHx??(A)?A2

*（18%）证明下列命题：

〉若方阵A的特征值全为零，则必存在正整数k，使Ak?O.

〉设A是n阶正定矩阵，?1,?2,?,?n是n维非零列向量. 若当i?j时，总有

?HiA?j?0，则?1,?2,?,?n必线性无关.

〉若n阶方阵A与G满足：①. A2?A； ②. GAG?G； ③. R(G)?R(A)

则G2?G（证明时请注明每一步的理由）.

*（16%）已知矩阵A???11??01??，B???23??02??，C2?2的子集

V??X|AX?XA,X?C?，

〉证明：V是C2?2的子空间；

1

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明：B?V，并求B在上小题所得基下的坐标。 *（20%）已知C2?2的子空间

??x?y????xx??V1???yy?|x,y?C?， V2????xy?|x,y?C?

??????分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的一组基及它们的维数。 ?30*（12%）已知矩阵A??31???202?2*（16%）设C上的线性变换

8?6?，求A100。 ?5??f定义为：

0??a?d?ab?2?2， f(X)???X??C???b?c??c?cd?〉求f在V的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数。

*（12%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)相等，均等于(??1)(??2)2，

?100?矩阵B??120?。

?112???〉分别求A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?1234?2341?，证明：A的谱半径?(A)?10。

*（10%）已知矩阵A???3412???4123???000?*（16%）已知矩阵A??000?。

??330??At〉求矩阵函数e；

?〉求A的广义逆矩阵A。

*（12%）设V是n维欧氏空间，??V是单位向量，k是一参数，V上的线性变换f 定义为：

f(?)???k??,???， ???V

问：当k取何值时，f是正交变换？

AtrA*（6%）证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）。

2?2*（20%）设C上的线性变换f定义为：

?tt??ab?2?2， f(X)???X??C????tt??cd?其中，t表示矩阵X的迹tr(X)?a?d。

〉求f在V的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数； 〉问：R(f)+K(f)是否为直和？为什么？

2

*（18%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)相等，均等于(??1)?，矩阵

2?110??。

B??001????000??〉分别求A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?5000????*（12%）已知矩阵A?0111，求A的广义逆矩阵A。

????0101??

?100???At*（12%）已知矩阵A?010，求矩阵函数e。

????111??*（6%）

〉证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）。

〉假设A是正规矩阵。若A的特征值全是实数，证明：A是Hermite矩阵。 *（20%）已知矩阵A??11?，B??52?，M??02?，C????????????〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明B?V，并求B在上小题所得基下的坐标； *（12%）

〉已知n阶方阵A满足A?7I?6A，且A?7I的秩为r，求det(A?2I)； 〉证明：若方阵B的特征值全为零，则必存在正整数k，使B22?2AtrA1020132?2的子集

V??X|AX?XA,X?C2?2?

?O。

*（12%）已知矩阵A的特征多项式C(?)及最小多项式m(?)相等，均等于(??1)?2，矩

?100?阵B??100?。

??110??〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?003?*（18%）已知矩阵A??003?。

?000???〉求矩阵函数e；

?〉求A的广义逆矩阵A。

011311*（20%）已知矩阵A??10?，B??11?，M??02?，C????????????V证明：V是C2?22?2的子集

V??X|AX?XA,X?C2?2?

的子空间；

3

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明B?V，并求B在所得基下的坐标； 〉问：M是否属于V？为什么？

*（12%）已知矩阵A的特征多项式C(?)及最小多项式m(?)相等，均等于(??1)?2，矩

?100?阵B??100?。

?010???〉分别写出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

*（12%）

2〉已知n阶方阵A满足A?I，且A?I的秩为r，求detA；

〉证明：若方阵B的特征值全为零，则必存在正整数k，使B?O。

?000?*（18%）已知矩阵A??000?。

??110??〉求矩阵函数e；

?〉求A的广义逆矩阵A。

*（10%）设V是n维欧氏空间，??V是单位向量，c是参数，V上的线性变换f 定义为：

f(?)???c??,???， ???V

问：当c取何值时，f是正交变换？

*（10%）（任选两题）

〉设?是相容矩阵范数。证明：对任意方阵A，A的谱半径?(A)?A； 〉对任意方阵A，问：A与e的特征值之间有什么关系；证明：对任意方阵A，dete（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）；

〉假设A是正规矩阵。若A的特征值全是实数，证明：A是Hermite矩阵。 *（20%）已知矩阵A??11?，B??52?，M??02?，C????????????〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明B?V，并求B在上小题所得基下的坐标； *（12%）

〉已知n阶方阵A满足A?7I?6A，且A?7I的秩为r，求det(A?2I)； 〉证明：若方阵B的特征值全为零，则必存在正整数k，使B22?2?e1020132?2的子集

V??X|AX?XA,X?C2?2?

?O。

2*（12%）已知矩阵A的特征多项式C(?)及最小多项式m(?)相等，均等于(??1)?，矩

?100?阵B??100?。

?110???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?003?*（18%）已知矩阵A??003?。求矩阵函数e??000??；

4

*（10%）设V是n维欧氏空间，??V是单位向量，k是参数，V上的线性变换f 定义为：

f(?)???k??,???， ???V 问：当k取何值时，f是正交变换？ *（10%）（任选两题）

〉设?是相容矩阵范数。证明：对任意方阵A，A的谱半径?(A)?A；

〉证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）； 〉假设A是正规矩阵。若A的特征值全是实数，证明：A是Hermite矩阵。 *（20%）已知C2?2的子空间

??x?y????xx??V?|x,y?C， V1???|x,y?C???? 2?????xy????yy??分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的一组基及它们的维数。

2?2*（20%）设C上的线性变换f定义为：

0??a?d?ab?2?2， f(X)???X??C???b?c??c?cd?〉求f在V的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数； 〉问：R(f)+K(f)是否为直和？为什么？

*（18%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)相等，均等于(??1)(??2)2，

?111???矩阵B?021。 ????002??〉分别求A和B的Jordan标准形；

〉问：A与B是否相似？为什么？

?2?*（12%）已知矩阵A?0???0?1?*（12%）已知矩阵A?0???300?111?，求A的广义逆矩阵A?。

??101??00?10?，求矩阵函数eAt。

?31??AtrA0*（6%）证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）。

??11?2?2*假设矩阵A???1?1??。C上的变换定义为f(X)?AX。

??2?2〉证明f是C上的线性变换；

2?2〉求f在C的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基和它们的维数。

*设?1,?2,?3是酉空间V的一组标准正交基，f是V上的线性变换，且

f(?1)??3， f(?2)??2， f(?3)???1

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