东南大学工程矩阵试卷new(2)

〉问：f是否为V上的酉变换？为什么？

〉是否存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵是对角阵？为什么？

210??1??*求矩阵A???1?2?10?的广义逆矩阵。

?0002????000???AtAt*设A???100?，求矩阵函数e及e的特征多项式。

?101????3??1?0?*已知矩阵A??0?0??0??0000000??300000?130000??003000?。 001300??000130??000003?〉试写出矩阵A的特征多项式，最小多项式，及矩阵A?3I的秩；

〉如果矩阵B与A有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且B?3I与A?3I的秩也相同，问：与A是否一定相似？说明你的理由。 *已知线性空间V上的线性变换f满足f?f。记

V1????V|f(?)???， V2????V|f(?)???

证明：V?V1?V2。

n?n*设A?C。

n?n〉记V?{B?C|AB?BA}。证明：V是Cn?n的子空间；

〉若n?2，A???2?1?1?，求这时第一小题中V的一组基； ???01?*设A和V如第二小题，I???0??20??11????J?，。试判断I,J是否属于V，并说明你的理由。???2??11?如在V中，试求其在第二小题所得的基下的坐标。

*设R[x]3的子空间W?p(x)?a0?a1x?a2x2|p(0)?p(1)，则W的一组基为 ； *线性变换f在基

???1,?2下矩阵为???a0??，则f在基?1?k?2,?2下的矩阵??0b?为 ； * 从R2?22?2到R的线性映射f定义为：f(A)?trA，?A?R，则值域R(f)的一组基

为 ，核空间K(f)的一组基为 ； * 作为酉空间C的子空间，齐次线性方程组?6?x1?x4?x5?x6?0的解空间W的正交补空间

x?2x?056? 6

的一组标准正交基为 ； *已知AF?a,BF?b,A2?c,B2?d，作M???O?????。 ????AO??，则M?B?f= ，M2= ；

???a10????* 设A??0a1?，则sinA???00a??????*（8%）设A?C2?22满足A?A?6I且r(A?2I)?k，求detA。

*（10%）已知C2?2的子空间V1??B|AB?BA?，其中A????01???，00???y??|z?x?y?0?。分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的基。 t????11?2?22?2*（10%）已知C上的线性变换f(X)?(a?b?c?d)??11??，?X?C。

??〉求f在基E11,E12,E21,E22下的矩阵； 〉求f的特征值及相应的特征子空间的基。

At*（8%）已知矩阵A的最小多项式为?(??1)2，t为复数。试将e表示成A的次数不超过2

的多项式。

*（10%）设dimV?n，f?Hom(V,V)，且R(f)?K(f)。 〉试证：f2?O，且n是偶数； 〉求f的矩阵的Jordan标准形。 *（9%）

??xV2??????z?1000????〉设A??012?，求A；

?012????s?n〉设A?C，r(A)?r。求AA的Jordan标准形。

* 证明下列命题：

〉若内积空间V中向量???与???的长度相等，且?与???正交，则?是零向量； 〉若A是正规矩阵，则A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的模全为1；

〉若n阶Hermite矩阵A为正定阵，又B是n阶方阵且A?BAB也是正定阵，则B的谱半径?(A)?1。 *（15%）设A?C〉记V?{B?C〉若n?3，

n?nH。

n?n?1?A??0?10??010???|AB?BA}。证明：V是Cn?n的子空间；

00??，求这时第一小题中V的一组基；

?100??010?，试判断I,J??，??I??010?J??001??001??000?????〉设A和V如第二小题，是否在V中,并说明你的理由。

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如在V中，试求其在第二小题所得的基下的坐标。

*（8%）设矩阵A,B的Frobenius范数和算子2-范数分别为A?OB???11?定义C2?2上的变换*（18%）设矩阵M?????1?1????AO?。试求M的Frobenius范数MB2?d，矩阵M????FF?a, A2?b, B2F?c,

及其算子2-范数M。

f为：对任意X?C2?2，f(X)?MX。

〉证明：f是C〉求f在C2?22?2上的线性变换；

的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的核子空间K(f)及值域R(f)的各一组基； 〉问：K(f)+R(f)是否为直和？为什么？

?3??1?0*（15%）已知矩阵?A??0?0??0??0000000??300000?130000?。 ?003000?001300??000130??000003?〉试写出矩阵A的特征多项式，最小多项式，及矩阵A?3I的秩；

〉如果矩阵B与A有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且B?3I与A?3I的秩也相同，问：B与A是否一定相似？说明你的理由。

?2000??*（12%）设矩阵A??001?1?。试求A的广义逆矩阵A。

???00?11????000?At*（12%）设矩阵A??100?。试求e。

???0?11????3* (8%)设二阶方阵A?????1*（15%）已知矩阵A?????1?1???2?2At?，证明矩阵e的行列式与?,?无关。 ??6?1?，C2?2的子集 ???V?X|AX?O,X?C2?2

〉证明：V是C的子空间； 〉求V的一组基及V的维数；

〉证明A?V，并求A在上小题所得基下的坐标； 〉找出C2?2??的一组基，使得每个基向量均不属于V。

?010?* (15%)已知矩阵J??000?。判断下列矩阵是否与J相似，并说明你的理由：

???00?1????100??1?1?3??100??000????????? A??500?,B??1?11?,C???1?11?,D??1?10??79?2??00?1??00?1??110?????????

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*（20%）设矩阵C2?2上的变换f定义如下：

0??a2?2??X?C， 其中a?trX。 f(X)????a?a???10??01??00??00?下的矩阵M； 的基E11????????,E?,E?,E??00?12?00?21?10?22??01??????????〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数；

〉求f在C2?2〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

* (14%)求下列矩阵的广义逆矩阵：

?1000???； A??1000??0003???2?2B??T?，其中??(1,1,?,1),??(1,1,?,1)分别是s维和n维行向量。

?100???，求矩阵函数sin* (16%)设

A??001??001???3At，并给出sinAt的特征多项式。

* (10%)设R的子空间V?L(?,?)，其中，??(1,0,?2),??(0,1,1)，??(1,1,1)，求?0?V使得???0?min???。

??V*（10%）（在下述三题中任选两题）

〉证明：若正定矩阵A满足A?A?2I?0，则A?I。

〉设Hermite矩阵A,B均是正定的，AB?BA。证明：AB是正定矩阵。 〉假设A是n阶方阵，n>1，且A?O。证明：A与A肯定不相似。 1*（15%）已知矩阵A???1?，C2?2的子集 ??1?1????n22V?X|AX?O,X?C2?2

〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明A?V，并求A在上小题所得基下的坐标； 〉试给出C2?22?2??的两个不同的子空间W及W'，使得C?012?2?V?W?V?W'。

* (15%)已知矩阵J??00?0??。判断下列矩阵是否与J相似，并说明你的理由： 0??00?1???00??100??1?10??1?????? A???100?,B??1?10?,C???1?10??34?2???21?1???21?1???????

1?1?2?2*（20%）设矩阵A??,C上的变换f定义如下： ???1?1???f(X)?XA， ?X?C2?2

〉证明：f是线性变换；

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10??01??00??00?下的矩阵M； 的基E11????????,E?,E?,E??00?12?00?21?10?22??01??????????〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数；

〉求f在C2?2〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？ * (14%)求下列矩阵的广义逆矩阵：

?111???； A??1?10??000???2?2B??T?，其中??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bm)。

*（10%）

〉证明：若酉矩阵A满足A?3A?2I?0，则A?I。

〉设Hermite矩阵A,B均是正定的，证明：AB的特征值均为正实数。 *(16%)设

?100???，求矩阵函数eAt，并给出eAt的特征多项式。 A??100??011???32* (10%)设R的子空间V?{(x,y,z)|2x?y?3z?0}，??(1,1,1)，求?0?V使得

???0?min???。

??V*（20%）已知A???20?2?22?2?，C的子集V1??B|AB?BA?，C的子空间 ?12???xy???V2???|z?x?y?0? ?zt?????的子空间；

〉证明：V1是C2?2〉分别求V1，V2基及它们的维数；

〉分别求V1?V2，V1?V2的基及它们的维数； 〉问：V1?V2是直和吗？为什么？

*填空. （每题2分）。

〉设A=(aij) s×n 为常量矩阵, X=(xij) n×s , 则

d(trXA)= ______ dX〉设n阶Hermite 阵A的特征值为?1??2? …??n , 用Rayleigh商表示，我们有：

?k= ______

?100.11???〉设A=0.190.1. 则A的盖尔圆系中的2区为 ：______ ????10.13??〉设V1，V2 是线性空间V的两个有限维子空间，由维数定理，我们有：dim(V1+V2)= ______

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