东南大学工程矩阵试卷new(3)

101??1?0?11?2??+

*（15分）设A=??23?5?12?， 求 A .

??1013?????12?3?7??1??12??, 求A100 - 4A25.

1*（10分）设A=21????0?4?1??01??0??*（15分）设A=2?12 , ?????10?2??〉求变换矩阵P 使PAP=J, 这里J表示Jordan标准形. 〉求 e.

*（5分）设 A=(aij)n×n?C ?（A）?||A||.

* （5分）已知线性变换f与g满足 f=f, g=g . 试证 f与g有相同的核的充分必要条件是fg=f, gf=g.

2

2

n×n

At

-1

, 对任意一类相容的矩阵范数 || || ，都有

?Ir*（8分）设f ?Hom（V， V）， dimV=n,且f=I, 证明 f 的矩阵必相似于 ??0 20??In?r??（0?r?n）. *（12分）设A?C

⊥

H

s×n

, 证明：

〉[R(A)] =K(A)； 〉K(A)=K(AA).

*（5分）证明上三角的正规阵必是对角阵.

* (5分) 设V是一个线性空间,f 是V上的一个线性变换.证明f的值域R(f)和核K(f)都是f的不变子空间. *（20%）已知C2?2H

H

上的线性变换f定义如下：f(X)???a?b?c?d?c?d?b?c?d??，?d??ab?2?2C。 ?X?????cd?2?210?〉求f在C的基E11??????,E12?00??01??00??00?下的矩阵M；

?????,E?,E??00?21?10?22??01???????? 11

〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C2?2的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

?2000000???1200000???0120000???。 *（15%）已知矩阵

A??0002000??0001200????0000120??0000002???〉试写出矩阵A的特征多项式，最小多项式，及矩阵A?2I的秩；

〉如果矩阵B与A有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且B?2I与A?2I的秩也相同，问：B与A是否一定相似？说明你的理由。

?0?0*（12%）已知矩阵A???1??100001?10?1000020003??0??，求A的广义逆矩阵A。 0??0?A的次数不超过2的多项式；求A2eAt的特征多项式。

?000?2At*（12%）设A???121?。试将Ae表成

???1?10???3*（12%）设R的子空间V?{(x,y,z)|x?y?z?0}，??(2,2,?3)，求?0?V使得

???0?min???。

??V*（9%）假设A是正规矩阵，证明：A是酉矩阵当且仅当A的特征值的

??x2?210??*已知矩阵A?，C的子空间W???????0?0?1?〉证明：V是C2?2y??2?2?|?x,y,z?C?,C的子集 z??V??X|AX?XA,X?C2?2?，

的子空间；

〉求子空间V、W的各一组基及它们的维数；

〉求V?W及V?W的各一组基及它们的维数； 〉问：V?W是不是直和？为什么？ 1*已知矩阵A???1?，C2?2的子集 ??1?1????V?X|AX?O,X?C2?2

〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明A?V，并求A在上小题所得基下的坐标； 〉试给出C2?22?2??的两个不同的子空间W及W'，使得C2?2?V?W?V?W'。

?2ac???。 J??02b??00?1???*假设3维线性空间V上的线性变换f在V的基?1,?2,?3下的矩阵为

12

问：当a,b,c,d满足什么条件时，存在V的一组基，使得f?200?的矩阵是K??2d0?？

???222???*已知C2?2上的线性变换f(X)?(a?b?c)??11??ab?2?2C，。 ?X??????11??cd?〉证明：f是线性变换；

10??01??00??00?下的矩阵M 的基E?????????,E?,E?,E?11122122?00??00??10??01??????????〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式；

〉求f在C2?2〉问：能否找到C*已知矩阵

2?2的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

?011?。判断下列矩阵是否与J相似，并说明你的理由： ??J??0?10??000????100??1?10??000? ??????A???100?,B??1?10?,C???1?10??300???21?1??00?1????????0*求矩阵?0A???0??30020111?100001??1?的广义逆矩阵。 0??0?*设

?100???。 A???100??101???At〉求矩阵函数e；

〉写出e的特征多项式。

?123??a00????相似，问：数a,b,c,d,e应满足什么条件？ *已知矩阵A??012?与B??c50???005??edb??????460?100*设A???3?50?，求A。

????361???*证明题：

〉假设A是正规矩阵。证明：若A?O，则A?O；

〉假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换f定义如下：对任意x?V，

2Atf(x)?x?2?x,???。证明：f是V上的正交变换。

HH*设A是n阶正规矩阵，?1,?2,?,?n是A的特征值。记A是A的共轭转置。证明：矩阵AAH及AA的特征值为?1,?2,?,?n。

222*问：下述命题是否成立？若成立，请给出简单证明；若不成立，请举出反例。

〉线性空间V的子空间V1,V2,V3的和V1?V2?V3是直和的充分必要条件是：对任意的i?j，

Vi?Vj只含零向量。

??〉对任意矩阵A，AA一定相似于对角阵。其中，A是A的广义逆矩阵。

13

*已知A???20?2?2C，的子空间 ??12???xy??V1??B|AB?BA?， V2????|z?x?y?0?。 ?zt?????分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的基及它们的维数。

?11??ab?2?22?2*已知C上的线性变换f(X)?(a?b?c)?，?X?????C。

?11??cd?1?1?2?22?2*设矩阵A??,C上的变换f定义如下：f(X)?XA， ?X?C ???1?1???〉证明：f是线性变换；

10??01??00??00?下的矩阵M； 的基E11????????,E?,E?,E??00?12?00?21?10?22??01??????????V求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数；

〉求f在C2?2〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？ *求下列矩阵的广义逆矩阵：

?111???； A??1?10??000???2?2B??T?，其中??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bm)。

*已知矩阵A的特征多项式与最小多项式相等，均为(???0)4，给出A、A、e及e的Jordan标准形。 *矩阵函数：

?100???，求矩阵函数eAt，并给出eAt的特征多项式。 A??100??011????000?2At2A〉设A???121?。试将Ae表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求Ae。

???1?10???2AA2

可能

〉设

*设R的子空间V?{(x,y,z)|2x?y?3z?0}，??(1,1,1)，求?0?V使得

3???0?min???。

??V* 证明：若酉矩阵A满足A?3A?2I?0，则A?I。

* 设Hermite矩阵A,B均是正定的，证明：AB的特征值均为正实数。 〉求f在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。 〉求f的特征值及相应的特征子空间的基。 〉求f的最小多项式。问：是否存在C2?22的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

?2ac???。 J??02b??00?1???*假设3维线性空间V上的线性变换f在V的基?1,?2,?3下的矩阵为

14

问：当a,b,c,d满足什么条件时，存在V的一组基，使得f?200?的矩阵是K??2d0?？

???222???00??0??2At2A*设A???121?。试将Ae表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求Ae。

?1?10????00111???001?11?的广义逆矩阵。 *求矩阵A???02000????30000?*设?1,?2,?3是欧几里德空间V的一组标准正交基。

???1??2??3,???1??2??3。

〉证明：?与?的长度相等。 〉求一个正交变换f使得f(?)??。

*设A是n阶正规矩阵，?1,?2,?,?n是A的特征值。记A是A的共轭转置。证明：矩阵AAH及AA的特征值为?1,?2,?,?n。

222HH*（20%）假设C2?2的子空间

??ab????xV1???|?a,b,c?C， V?????2cb??????x分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及其维数。

y??|?x,y?C? ?x??00??0??AtA??121*（12%）设矩阵??。试将e表示成A的次数不超过2的多项式。

?1?10????a?bc?d??ab?2?22?2*（20%）C上的线性变换f：f(X)??，X?????C

?c?da?b??cd?2?2〉求f在C的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数；

〉问：C?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?0011????*（15%）假设矩阵A??00?1?1?，求A的广义逆矩阵A。

?2000????a21??100?????*（15%）设矩阵A??01b?，B??110?。

?001??21?1?????〉试求矩阵A及B的所有可能的Jordan标准形；

〉若A与B是相似的，问：参数a,b应满足什么条件？试说明你的理由。

2?2 15

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