初等数学专题研究答案(6)

4、余弦函数f(x)和正弦函数g(x)可以定义为函数方程

f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)

的解，且满足条件：(1)f(x)和g(x)在整个实轴上连续；（2）对于某正数c，当

0?x?c时，f(x)?0,g(x)?0；（3）f(0)?g(c)?1。证明：

（1）f(c)?g(0)?0； （2）f2(x)?g2(x)?1；

（3）f(c?x)?g(x),g(c?x)?f(x) （4）g(x?y)?g(x)f(y)?g(y)f(x) 证明：（1）因为f(0)?f(0?0)?f(0)f(0)?g(0)g(0)，并且f(0)?g(c)?1 所以1?1?g2(0)?g(0)?0；

又令x?y?c. 得

f(0)?f2(c)?g2(c)?.

所以有1?. f2(c)?1，从而f(c)?0?2（2）在函数方程中令x?y，再用条件（3），就可推出g（3）在函数方程中，用c代换x，用x代换y，得

(x)?f2(x)?1?.

f(c?x)?f(c)f(x)?g(c)g(x)?0?f(x)?1?g(x)?g(x).?

在上式中，用c?y代换x，得

f(y)?g(c?y)?,

即

g(c?x)?f(x)?.

（4）用（3）中证明的结果和所给的函数方程，得

g(x?y)?f[c?(x?y)]?f[(c?x)?y]??

?f(c?x)f(y)?g(c?x)g(y) ?g(x)f(y)?f(x)g(y)?.第十三讲 初等函数性态的深入讨论

1、求函数 f (x) = x3+ 6x2 － 2x + 3的对称中心。

解f(x)?f(2a?x)?x3?(2a?x)3?6x2?6(2a?x)2?2x?2(2a?x)?6

?8a3?12a2x?6ax2?12x2?24a2?24ax?4a?6

?6(a?2)x2?(12a2?24a)x?2a3?24a2?4a?6 6(a?2)x2?(12a2?24a)x?8a3?24a2?4a?6?2b

于是 a??2，此时12a2?24a?0，8a3?24a2?4a?6?48?2b?b?24 所以函数的中心是(?2,24)

2、求函数f(x)?x4?4x3?3x2?2x?2的对称轴。

解：f(2a?x)?(2a?x)4?4(2a?x)3?3(2a?x)2?2(2a?x)?2

f(2a?x)?x4?(8a?4)x3?(24a2?24a?3)x2?(32a3?48a2?12a?2)x?16a?32a?12a?4a?2由于f(x)?f(2a?x)，所以a??1，此时24a2?24a?3=3

32a3?16a2?48a?2??2，16a4?32a3?12a2?4a?2?2 432

所以函数的对称轴为x??1 3、利用函数性态研究函数与函数g (x) = x2 之间的关系 解：f(x)?3?|x2?4x?1|?3?|(x?2)2?5| 44510g?x? = x-2??-522-22g?x? = ?x-2?2-25-410510 -6 -2g?x? = ?x-2?2-5 g?x? = -?x-2?2-5-2-65102-4-6g?x? = 3-?x-2?2-5-4-8510-2-8 -6 -4（1）将x的图像向右平移2个单位得(x?2)； （2）将(x?2)的图像向下平移5个单位得(x?2)?5； -82222

（3）将(x?2)2?5位于x轴下方的图像翻折到上方得|(x?2)2?5|；

（4）将|(x?2)2?5|的图像翻折到x轴下方得?|(x?2)2?5|； （5）将?|(x?2)2?5|的图像向上平移3个单位得3?|(x?2)2?5|；

第十四讲 不等式的证明

1、已知a,b,c是正数，求证

2229??? a?bb?cc?aa?b?c证明：不等式等价于

a?b?ca?b?ca?b?c9???；亦即 a?bb?cc?a2cab3???； a?bb?cc?a2cabc?ab?a2?c2bc?ab?2acc(b?a)?a(b?c)由于 ????a?bb?c(a?b)(b?c)(a?b)(b?c)(a?b)(b?c)?accaac????，即 a?bb?ca?bb?ca?bb?cab??b?cc?ab?b?ca ?ca同理有

cbbc??? a?bc?aa?bc?a将上面三个不等式相加：

2(cabacbabc??)???????3 a?bb?cc?aa?bb?cb?cc?aa?bc?aca??a?bb?cb3? c?a2所以有

2、设a,b?R，试比较a4?b4与a3b?ab3的大小。

解：a4?b4?(a3b?ab3)?a3(a?b)?b3(b?a)?(a?b)(a3?b3)

?(a?b)2(a2?ab?b2)?0，所以a4?b4?a3b?ab3

1352n?11)? 3、设n是大于零的自然数，求证：(2?)(2?)(2?)?(2?nnnnn!证明：用数学归纳法：当n?1时，2?1?1，不等式在n?1时成立； 1!1352n?11)?成立，那么 设(2?)(2?)(2?)?(2?nnnnn!(2?1352n?1132n?12n?1)(2?)(2?)?(2?)?(2?)(2?)?(2?)(2?)n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1132n?12n?112n?2?2n?11?(2?)(2?)?(2?)(2?)??nnnn?1n!n?1(n?1)!所以不等式对一切非零自然数都成立。

1sec2x?tanx?3 4、证明?3sec2x?tanxsec2x?tanx1?tan2x?tanx?? 证明：设y?22secx?tanx1?tanx?tanx(y?1)tan2x?(y?1)tanx?(y?1)?0

13由于原函数的分母1?tan2x?tanx?(tanx?)2??0，所以函数的定义域为使

24tanx有意义的实数集，因而函数的值域不是空集，所以：

（1）若y?1，此时只需tanx?0，而tanx?0有解；所以y?1能成立； （2）若y?1，由于函数值域非空，所以对于值域内的y，方程

(y?1)tan2x?(y?1)tanx?(y?1)?0

对x有解，从而(y?1)2?4(y?1)2?0?(3y?1)(y?3)?0?1综合（1）、（2）有?y?3成立。

31?y?3且y?1 3第十五讲 不等式的求解

解下列不等式：

(1)

(3x?2)(x?2)(2x?2)(x?2)； ?22(x?3)(x?3)

(2)2x??1x2??5?5x 2

(3)2log2(x?1)?log2(5?x)?1 (4)sinx?cos2x

第十六讲 排列组合问题的解决

1、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋里，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：（1）4只鞋中没有成双的；（2）4只鞋中有2只成双2只不成双的；（3）4只鞋子恰好配成两双。

2、将2n名新战士分成n个2人小组学习机枪射击，试求分别满足下列各条的分组方式的种数：（1）一人担任正射手一人担任副射手；（2）两人不分正副。 3、将10个无区别的小球放入6个空盒，试求有多少种放法使得至少有两个盒子不空？

4、有n个年轻人和m个老人，n>2m，将他们排成一排，要求每个老人只有都各有一个年轻人搀扶，并且这两个年轻人只负责搀扶这位老人，有多少种不同的排列方式？

第十七讲 连锁规则的应用

1、平面上的n个圆，最多可以把该平面分割成多少个互不相通的平面区域？ 2、在同一个平面上，两两相交的n个圆最多可以产生多少个不同的交点？证明你得到的结论。

3、在同一个平面上，两两相交的n条直线最多可以产生多少个不同的交点？证明你得到的结论。

4、在空间中，两两相交的n个平面最多可以产生多少条不同的交线？证明你得到的结论。

第十八讲 逻辑与推理（1）

1、一位妇女，她的弟弟、儿子和女儿她们四人都是棋手。已知最差的棋手的孪生者（也是四个棋手之一）与最佳棋手为异性，最差棋手与最佳棋手的年龄相同，她们四人谁是最差棋手？

2、五个学生A、B、C、D、E参加一场比赛，班上另外五个学生甲乙丙丁戊对比赛结果进行预测：甲猜：B第二A第三；乙猜：D第二E第四；丙猜：E第一C第五；丁猜D第三C第四；戊猜：A第二B第五。赛完发现每人恰好猜对一个，并且每个名次都恰好有一人猜对，问实际比赛结果如何？

第十九讲 逻辑与推理（2）

1、写出命题“如果一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直”的逆命题、否命题和逆否命题。 2、指出下述命题的符合逻辑的证明程序：

空间三个平面α、β、γ，设a、b、c分别是α和β，α和γ以及β和γ的交线，证明a、b、c或者两两平行，或者相交于一点。 3、指出下面论证的错误并给出正确的证明： 求证：对角线相等的平行六面体是长方体。 错证：（1）长方体的对角线相等，它们都等于三度的平方和；（2）所以不是长方体的平行六面体的对角线不相等；（3）因此对角线相等的平行六面体是长方体。

第二十一讲 公民身份证号码与条形码知识

1、“310107195306211234”是否是一个人的身份证号码？

2、某商品的EAN码的本体码为690217000003，那么它的校验码是多少？ 3、某本书籍的ISBN—10码为“7040055513”，这本书是否为合法出版物？ 4、《西南教育》的国际刊号为1SSN 1810—1198 ，试判断这种期刊是否是非法出版物？

第二十二讲 趣味的图论问题（一）

1、证明在简单图中，如果顶点数不小于2，那么至少有两个顶点的次数是一样的。

2、图G有n个顶点，n+1条边，证明G至少有一个顶点的次数不小于3.

3、17位学者，每位都给其余的人写了一封信，信的内容是讨论三个论文题目中的任意一个，而且每两个人互相通信所讨论的是同一个题目。证明至少有三位学者，他们互相通信讨论的是同一个论文题目。

4、如图所示，四个村庄下面各有一个防空洞甲、乙、丙、丁，相邻两个防空洞

之间有地道相通，并且每个防空洞各有一条地道与地面相通(图中地道用 表示)，能否每条地道都恰好走过一次，既无重复也无遗漏？

5、在图中找一条链经过每个顶点恰好一次（不要求经过所有的边）？

甲丁乙丙

第四题 第五题

第二十三讲 趣味的图论问题（二）

1、证明定理3:如果连通图G的顶点数n和边数m满足 m = n－1, 那么图G就是一棵树 2、证明：只有五种不同的正多面体

3、如果一个凸多面体中，n=6，m=12，证明这个多面体的每个面都是三角形。 3、如果一个凸多面体中，n=6，m=12，证明这个多面体的每个面都是三角形。 4、如果简单图G是平面连通图，证明m≤3n－6

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库初等数学专题研究答案(6)在线全文阅读。