初等数学专题研究答案(2)

2：设M是单位圆周x2?y2?1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。

解：设点N的坐标为(x,y)，点M的坐标为(x1,y1)

??????????将向量AN绕A点逆时针旋转300度就与向量AMy重合，根据复数乘法的几何意义有：

??????????oo AM?AN(co3 )s00?isi3n00MxOA??????????????而 AM?OM?OA?x1?y1i?2?(x1?2)?y1i ?????????????AN?ON?OA?x?yi?2?(x?2)?yi

?????1?3i AN(cos300o?isin300o)?[(x?2)?iy]2?(x?2)3?y1x?2?3y(x?2)3?yx?2?3y ?i，所以x1?2?,y1??12222x?2?3y(x?2)3?y 但x12?y12?1， ,y1??22N即 x1?所以(x?2?3y2(x?2)3?y2)?[]?1，(x?2?3y)2?(3x?23?y)2?4 22x2?y2?2x?23y?3?0，(x?1)2?(y?3)2?1

3、设z1、z2、z3 是复平面上三个点A、B、C对应的复数，证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是

22z12?z2?z3?z1z2?z2z3?z3z1

C解：不失一般性，不妨设A?B?C?A为逆时针方向。 A那么，三角形ABC是正三角形的充分必要条件是：将向????????量BC绕B点逆时针旋转60度后与向量BA重合。由复数乘法的几何意义知，这个几何变换等价于 ????????BA?BC(cos60o?isin60o)，

OB????????????????????????而：BA?OA?OB?z1?z2,BC?OC?OB?z3?z2, 但(cos60o?isin60o)3??1，所以(z1?z2)3??(z3?z2)3,

即 (z1?z2)3?(z3?z2)3?0,

?(z1?z3?2z2)[(z1?z2)2?(z3?z2)2?(z1?z2)(z3?z2)]?0 但A、B、C三点不共线，所以?z1?z3?2z2?0 从而(z1?z2)2?(z3?z2)2?(z1?z2)(z3?z2)?0

22展开化简即得z12?z2?z3?z1z2?z2z3?z3z1

第五讲 错位相消的策略

1、求和

(1)cos??cos2????cosn? (3)1?1!?2?2!???n?n!

(4)(2)1?2?2?3???n?(n?1)

123n ?????2!3!4!(n?1)!解（1）sin?12k?12k?1cosk??[sin??sin?] 2222依次将k?1,2,3,?,n代入：

131cos??[sin??sin?]2222?153sincos2??[sin??sin?]2222?175sincos3??[sin??sin?]2222?????sinsin?

?12n?12n?1cosn??[sin??sin?]2222将上面n个等式相加，得：

sin?12n?11(cos??cos2??cos3????cosn?)?[sin??sin?] 2222n?1n?sin?22?cos

cosn?1n?sin?221sin?2所以：cos??cos2????cosn??

1(2)k(k?1)?[(k?2)(k?1)k?(k?1)k(k?1)]

3依次将k?1,2,3,?,n代入:

11?2?[1?2?3?0?1?2]312?3?[2?3?4?1?2?3]313?4?[3?4?5?2?3?4]3?????1n(n?1)?[n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)]3将上面n个等式相加，得：

11?2?2?3???n?(n?1)?n(n?1)(n?2)

3

2、证明

tan?tan2??tan2?tan3?????tan(n?1)?tann??tan(n?1)?cot??(n?1)

证明：设tan?tan2??tan2?tan3?????tan(n?1)?tann??Sn 由于tan??tan[(k?1)??(k?)]?tan(k?1)??tank?

1?tank?tan(k?1)?所以得：tan(k?1)??tank??tan?[1?tank?tan(k?1)?] 将k?1,2,3,?,n依次代入得：

tan2??tan??tan?[1?tan?tan2?] tan3??tan2??tan?[1?tan2?tan3?]

…………………………………………

tan(n?1)??tann??tan?[1?tann?tan(n?1)?]

将上面的n个等式相加：

tan(n?1)??tan??tan?[n?Sn]，所以cot?[tan(n?1)??tan?]?n?Sn cot?tan(n?1)??1?n?Sn?Sn?cot?tan(n?1)??(n?1)

1352n?113、证明：???? ?2462n2n2k?12k?12k?12k?2?2k?1?证明：因为：? ???2k2k2k2k?1?2k?将k?2,3,4,?,n依次代入得：

23332?3????? ?4?4443??5554?5????? ?6?6665??7776?7????? ?8?8887??………………………

22222n?12n?12n?12n?2?2n?1? ???2n?2n2n2n2n?1??352n?1223452n?22n?11)??? 将上面的等式相乘：(???462n34562n?12nn两边开平方得：

352n?11 ????462nn11352n?11两边同乘，即得：???? ?22462n2n第六讲 递归数列的通项（1）

1、判断下列递推公式是否为循环公式？

(1)an?3?nan?2?2an?1?n2an (2)an?2?an?1an

(3)an?2?an?1?2an?1 (4)an?2?an?1cos??ansin? 解：（1）不是，因为等式右边不是an,an?1,an?2的线性表达式； （2）也不是，因为右边也不是an,an?1的线性表达式；

（3）本身不是，但可以化成循环公式：an?3?an?2?2an?1?1,an?2?an?1?2an?1, 消去1：an?3?an?2?an?2?2an?1?an?1?2an，整理得：an?3?2an?2?an?1?2an

这是一个三阶循环公式。

（4）是，因为cos?,sin?是与n无关的常数。 2、求下列循环数列的通项公式。

(1)??an?2?23an?1?4a2 (2)???a1?3,a2?2?an?1??an?n ?a?2?1?an?2?an?1?an?an?2?6an?1?9an (4)? (3)??a1?a2?1?a1?1,a2?12解：（1）an?2?23an?1?4a2?23an?1?8，an?1?23an?4a2?23an?8，消去常数8：an?2?an?1?23an?1?23an?an?2?(1?23)an?1?23an 特征方程：?2?(1?23)??23，解这个方程得：

1?23?(1?23)2?831?23?(23?1)??23 ??????22??1设通项公式为：an?c1?c2(23)n?1

?2?333?483?4?c1?c2?3那么：? ?c2??,c1?111123?1??c1?23c2?2n?183?433?4??122 所以所求通项公式为an?1111（2）消去n：an?1??an?n,an?2??an?1?n?1，an?2??an?1?(an?1?an)?1?an?1 再由an?2?an?1?an?3?an?1?1，消去1：

an?2?an?1?an?3?an?1?an?2?an?an?2?an?1?an，即an?3?an?2?an?1?an 特征方程：?3??2???1??3??2???1?0

11111三个特征根依次为1、1、-1；

-11011-10-1101-10

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