初等数学专题研究答案(5)

所以：4?12?37?40?5?3?1?35?2?5??2 2（2）5?35?3?5?35?3?4?15?4?15?8

4、化简下列各式：

(1)(3)(5)316?220?228?235 (2)10?63 (4)1353?876

324?41?554?34?212 3541 53解：（1）设16?220?228?235?x?y?z 那么x?y?z?2xy?2xz?2yz?16?220?228?235 于是x?y?z?16,xy?35,xz?20,yz?28，而(xyz)2?35?20?28?(5?4?7)2 即xyz?5?4?7，但xy?35,xz?20,yz?28所以x?5,y?7,z?4，此时恰好有

x?y?z?16，所以16?220?228?235?5?7?2

（2）设24?415?421?235?x?y?z 那么x?y?z?2xy?2xz?2yz?24?415?421?235 于是x?y?z?24,xy?60,xz?84,yz?35，而(xyz)2?60?84?35?(5?12?7)2 即xyz?5?12?7，但xy?60,xz?84,yz?35所以x?12,y?5,z?7，此时恰好有

x?y?z?24，所以16?220?228?235?23?5?7 （3）设310?63?x?y，则310?63?x?y

于是3?8?x2?8?y?x2?2，

其次由10?63?x3?3xy?3x2y?yy?x3?3xy?10 将y?x2?2代入x3?3xy?10

得：x3?3x(x2?2)?10?4x3?6x?10?0?2x3?3x?5?0 分解因式得：(x?1)(2x2?2x?5)?0?x?1，所以y?3

从而310?63?1?3 （4）设3543?415?x3?y5 那么：543?415?33x3?153xy2?9x2y5?55y3

于是3x3?15xy2?54,9x2y?5y3?41?x(x2?5y2)?24,y(9x2?5y2)?41 但41是素数，所以y?1，从而x?2 所以3543?415?23?5 （5）31353?876?6333(45?292)?3345?292 对于345?292，设345?292?x?y，那么345?292?x?于是3452?292?2?x2?y?3343?x2?y?x2?y?7

其次：由345?292?x?y得：x3?3xy?3x2y?yy?45?292 所以x3?3xy?45，将y?x2?7代入得x3?3x(x2?7)?45?4x3?21x?45?0

y ?(x?3)(4x2?12x?15)?0但4x2?12x?15?0没有实数解，所以x?3，进而

y?2，所以31353?876?3(3?2)?33?6 第十一讲 函数方程（1）

1、用代换解法解下列函数方程

?1?3(1)2f(x2)?f?2??x???(x?0) (2)af(x?)b?f(3x?)???cxa2(?b2 )?x?(3)?x?1?f(x)?f?(x?0?,x?1) ??1?x???x??1?1?1?1?22x替换为，得，消去 f(x)?2f????(x?0)f??22?2?x?x?x?x?解：（1）将

1121)(x?0)，再用x替换x2得f(x)?得：f(x2)?(2x????x???(x?0)

3x33x（2）将x替换为?x，得af(?x3)?bf(x3)??cx???(a2?b2)，在联立式

33??af(x)?bf(?x)?cx?22???(a?b) ?33??af(?x)?bf(x)??cx33233???af(x)?bf(?x)?cx??af(x)?abf(?x)?acx?????中消去f??x?：? 33323???af(?x)?bf(x)??cx?abf(?x)?bf(x)??bcx3?(a2?b2)f(x3)?(ac?bc)x?f(x3)?ac?bca2?b2ac?bcx

a2?b2再用x替换x3得f(x)?3x(a2?b2?0)

（3）解 ∵ f(x)?f??x?1???1?x?.??x??(1)

x?1?1x?1?1x?1化为x??. 以代换x，则

x?1xx?1xx原方程化为

?x?1???1?2x?1f??.???f???x?x??x?1??(2)

再以

?1x?2??1?代换（1）中的x，又得 f??f(x)??.??????(3) ?x?1x?1?x?1?2f(x)?1?x?x?22x?1??. x?1x（1）÷（3）-（2），得

即

x3?x2?1f(x)??.

2x(x?1)f(x)f(y))?.??????(x?0) (2)f(x?y?f(x)?f(y)2、用柯西解法解下列函数方程

(1)f(x?y)?f(x)f?( y).解：（1）由原方程得

1f(x)?f(y)11????.

f(x?y)f(x)f(y)f(x)f(y)设?(x)?1 就有 .?f(x)?(x?y)??(x)??(y)?.

说明?(x)是正比例函数?(x)??(1)x

所以f(x)?11f(1) ???(x)?(1)xx（2）这个方程正好是指数函数的基本性质，故可以假定f(x)?ax,a?f(1) 下面证明这个结论：

事实上：由方程本身可以得到f(x1?x2???xn)?f(x1)f(x2)?f(xn) 令x1?x2???xn?x，则f(nx)?fn(x)

再令x?1得f(n)?fn(1)，这说明f(x)?ax,a?f(1)在正整数集合成立； 在f(x?y)?f(x)f(y)?中令x?y?0得f(0)?f2(0)?， 因此f(0)?1或者f(0)?0。

如果f(0)?0，那么f(x)?f(x?0)?f(x)?f(0)?0?f(x)?0，这说明函数恒为零，这与函数单调的前提矛盾，所以f(0)?0，即只能是f(0)?1。 其次：1?f(0)?f[x?(?x)]?f(x)f(?x)?f(?x)?f?1(x)

所以f(?n)?f?1(n)?[fn(1)]?1?f?n(1)，所以f(n)?fn(1)在整数集上成立。

1又由于：f(1)?f(n?)，利用f(nx)?fn(x)

n111n1n即得 f(1)?f(n?)?f()?f()?f(1)

nnn1nn1n1n所以f()?f(n?)?f()?[fm(1)]?fm(1)

mmm所以f(x)?ax,a?f(1)在有理数集合Q上也成立，再由有理数在实数集上的稠密性，即得f(x)?ax,a?f(1)对一切实数都成立。

第十二讲 函数方程(2)

1、用柯西方程解函数方程f(x?y)?f(x)f(y)(提示：在所给的函数方程两边同时取对数 )

解：所谓柯西方程是指f(x?y)?f(x)?f(y)，它的解为：f(x)?f(1)x

对所给方程两边取对数：lgf(x?y)?lg[f(x)f(y)]?lgf(x)?lgf(y) 令g(x)?lgf(x)?g(x?y)?lgf(x?y)，所以函数g(x)是柯西方程：

g(x?y)?g(x)?g(y)

的解。

于是g(x)?g(1)?x?[lgf(1)]x

但g(x)?lgf(x)?f(x)?10g(x)?10g(1)?x?[10g(1)]x?[10lgf(1)]x?[f(1)]x 所以原方程的解为f(x)?ax,a?f(1)。 2、用柯西方程解函数方程f(x?y)?f(x)f(y)???????(x?0)

f(x)?f(y)(提示：在所给的函数方程两边同时取倒数 ) 解：由于

111?????????(x?0)

f(x?y)f(x)f(y)11x ，则g(x?y)?g(x)?g(y)，所以g(x)?g(1)?x?f(x)f(1)11f()1?x?f(x)? f(x)f(1)x令g(x)?所以

3、利用函数方程f(x?y)?f(x)f(y)的解是指数函数f(x)?cx这一结果，解定义在正实数上的函数方程f(xy)?f(x)f(y)

解 设u?logbx?,??v?logby?,??或?x?bu?,??y?bv代入原函数方程，得

f(bu?v)?f(bu)?f(bv)

令?(x)?f(b)，就有?(u?v)??(u)?(v)?

∴ ?(u)?a

utf(x)?f(bu)??(u)?au?alogbx

???alogbx?xlogba

令c?logba?就有f(x)?x 所给函数方程的解是幂函数. ,?c

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库初等数学专题研究答案(5)在线全文阅读。